Найдите наименьшее натуральное число такое, что его половина есть квадрат, треть есть куб, а пятая часть равна пятой степени некоторых натуральных чисел.
Обозначим за Х число, которое нужно найти. По условию узнаем, что Х делится на 5, на 3 и на 2. Значит в числе Х обязаны быть, как минимум, множители 5, 3 и 2. Для 1-го условия задачи (его половина есть квадрат) достаточное количество этих множителей для Х1 равно 5^2*3^2*2^3. Для второго условия - Х2 равно 5^3*3^4*2^3. Для третьего условия Х3 - 5^6*3^5*2^5. Найдем необходимое и достаточное количество множителей в числе Х, которое бы подходило и к Х1, и к Х2, и к Х3. Этот набор множителей должен быть общим для Х1, Х2, Х3, то есть Х должен делиться на Х1, Х2, Х3. Этот набор множителей: 5^6*3^10*2^15. Если перемножим полученные множители, то получим число 30 233 088 000 000 равное нашему Х.
ivana2000:
не представился 2020-08-19 18:21:05 пишет:
Делители числа Вы сами обозначили в воросе: половина - двойка, треть - тройка, пятая часть - пятерка. Осталось найти их минимальное количество, т.е. степени, которое должно удовлетворять условиям:
- степень двойки минус один (это потому, что в расчетах половина) должна делиться на 2, и в этоже время на два должны делиться степени тройки и пятерки. 2^(2*n)*3^(2*m)*5^(2*k)=(2^n*3^m*5^k)^2 - гарантированный квадрат;
- степень тройки минус один (это потому, что в расчетах треть) должна делиться на 3, и в этоже время на три должны делиться степени двойки и пятерки. 2^(3*n)*3^(3*m)*5^(3*k)=(2^n*3^m*5^k)^3 - гарантированный куб;
- степень пятерки минус один (это потому, что в расчетах пятая часть) должна делиться на 5, и в этоже время на пять должны делиться степени двойки и тройки. 2^(5*n)*3^(5*m)*5^(5*k)=(2^n*3^m*5^k)^5 - гарантированная пятая степень.
Минимальные степени, удовлетворяющие этим условиям, для двойки 15, тройки - 10, пятерки - 6.
ivana2000:
не представился 2020-08-18 18:44:26 пишет:
Ответ Алекса, кстати такой-же, но не принят. Правда, у него, вместо запятых надо знаки умножения поставить.