Из каждой вершины параллелограмма проведены по два отрезка к серединам противоположных сторон. Найдите площадь зеленого восьмиугольника, если площадь параллелограмма равна S.
Так, по старой памяти заглянул :) 2023-02-17 19:31:39 пишет:
Ну, тут без картинки будет совсем печально... Но попытаюсь. :)
Сперва убираем с рисунка все лишнее, мешающее пониманию решения. :) Для этого разделим исходный параллелограмм двумя срединными линиями на четыре равных маленьких параллелограмма. Выберем одну (любую! - запомним, это важно) из полученных четвертушек, а в остальных трех все вытираем, включая зеленую заливку, оставляем только внешний контур исходного параллелограмма. Также, в нетронутой четвертушке вытираем обе линии, выходящие из ее черной вершины - они нам больше не дают никакой дополнительной информации и только захламляют рисунок.
Дальше, для упрощения текста придумаем новый термин: "медиана параллелограмма". Не знаю, может он и так существует, но я не припоминаю, чтобы когда-либо его встречал, так что если и существует, то не особо распространен. Условимся называть "медианами параллелограмма" те самые "отрезки из вершины к середине противоположной стороны", с помощью которых и делалось изначальное построение - на авторском рисунке они имеют разноцветные концы, один черный, другой белый (два веселых гуся :))).
Легко убедиться, что оставшиеся два внутренних отрезка в нашей выбранной четвертушке, ограничивающие ее зеленый кусочек - они же куски медиан оригинального параллелограмма, - ровно также являются медианами уже самой четвертушки.
Теперь масштабируем нашу четвертушку обратно на исходный параллелограмм - преобразование гомотетии с центром в той самой черной вершине и коэффициентом 2. Таким образом в противоположной (диагонально) четвертушке у нас образуется большой зеленый кусок, подобный маленькому в нашей выбранной, ограниченный все так же медианами, и имеющий в 4 раза бОльшую площадь, чем маленький. И наконец, перевернем нашу выбранную четвертушку в ту диагонально противоположную - абсолютно без разницы, то ли центральной симметрией относительно центра исходного параллелограмма, то ли поворотом относительно того же центра на 180°, - результат будет идентичен. В итоге все линии совпадут (перейдут друг в дружку) - все это тоже доказывается вполне элементарно, просто без рисунка и обозначений, чисто на пальцах это сделать затруднительно, сорри.
Итого: мы получили новую четвертушку, состоящую из: 1) большого зеленого куска, площадью Х; 2) двух треугольников, отрезанных от нее медианами, площадью S/4/4=S/16 каждый; и 3) маленького зеленого кусочка, являющегося пересечением оных треугольников, и соответственно - посчитанного уже дважды, так что теперь его надо вычесть, - площадью Х/4. Так что мы можем теперь легко найти Х из уравнения Х+2*S/16-Х/4=S/4. Откуда Х*3/4=S*1/8 и соответственно Х=S/6.
Что такое этот Х, и зачем он нам - спросите вы? :) Так это же и есть искомая в задаче площадь зеленого октагона. ;) Помните - первоначальную четвертушку мы выбирали абсолютно произвольно? То есть все те же самые операции мы можем проделать с каждой из них и получить в итоге точно тот же самый результат. То есть в каждой четвертушке площадь маленького зеленого кусочка (которая Х/4) составляет ровно 1/6 от площади четвертушки (которая S/4). И сложив их все обратно вместе мы получим наш октагон площади 4*Х/4, составляющей 1/6 от 4*S/4.
Ответ: площадь зеленого восьмиугольника равна S/6. :)