В окружности радиуса R проведены две взаимно перпендикулярные хорды АВ и СД пересекающиеся в точке О. Как доказать, что АС(в квадрате)+ВД(в квадрате) = 4R(в квадрате)
Сдаюсь :) Наверно действительно все так, несмотря на то, что визуально не выходит каменный цветок. Видимо в квадратах я ошибся...
Reds 2011-12-14 15:46:57 пишет:
В формулах все выглядит красиво, не буду спорить. Но вот линейка против - при R=2 и 4Rквадрат=16, при смещенной точке О, суммарная длина двух гипотенуз может не превышать 15. Может не все так просто в скобке (sinB + cosB)?
По теореме синусов 2R=AC/sinABC а так же 2R=BD/sinBCD , уголABC = 90 – уголBCD , следовательно sinABC=cosBCD, подставляем это в первое равенство. Домножаем первое равенство на cosBCD, второе на sinBCD, возводим каждое в квадрат, складываем и получаем то, что нужно доказать
Админ: О!
Reds 2011-12-13 17:45:39 пишет:
2 Админ - Интересно будет взглянуть на решение. По моему мнению - это невозможно, потому как сумма двух катетов (на одной хорде) не будет равна 2R, точнее будет меньше, а значит и условие не выполнится (ведь треугольник то всяко прямоугольный остается)
Мари 2011-12-13 16:57:27 пишет:
Предлагаю ввести систему координат с началом в центре окружности и осями параллельным хордам. Посчитать расстояния в координатах. Получим, что АО^2+BO^2+CO^2+DO^2 = R^2.
Админ: по-моему, не очевидный вывод
Reds 2011-12-13 12:46:30 пишет:
Справедливо для хорд, являющихся диаметром, т.е. пересекающихся в центре окружности (точка О). Тогда мы имеем два прямоугольных треугольника OAC и ОДВ, знаем их гипотенузы (AC и ВД), и согласно "сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы", а катеты у нас равны и равны R, получаем равенство АСквадрат+ВДквадрат=4Rквадрат
Админ: Частный случай, считаем доказан. Еще один частный случай - когда точка О ложится на окружность тоже тривиален. Докажите теперь, что и в остальных случаях равенство сохраняется. А оно действительно сохраняется. :)