Числа a^2,b^2,c^2 в указанном порядке образуют арифметическую прогрессию. Доказать, что числа 1/(b+c),1/(a+c),1/(a+b) в указанном порядке также образуют арифметическую прогрессию.
В качестве стороннего замечания остается лишь добавить, что ни общий знаменатель, ни любой из дополнительных множителей не предполагается оказаться нулем. XD То есть исходная прогрессия квадратов - невырождена. Конечно, мне не составит столь большого труда подвести обоснование под то, что (например 8) "сингулярность, число, сингулярность" образуют арифметическую прогрессию... XD XD XD Но не будем ломать мозг остальным. ;)))
Ну, в общем, доковырял... Но опять некрасиво - прямыми подстановками. Темкиного решения пока специально не читаю. :))) Напишу свое, потом буду чужими восхищаться. :D Идея следующая: для сравнения дробей нам их так и так необходимо приводить к общему знаменателю. Который, в общем случае составляет (b+c)(a+c)(a+b) . Сам по себе знаменатель нас больше не интересует в принципе - главное, мы определили, что он общий, и его выражение. Теперь нас интересуют лишь числители, или, другими словами, дополнительные множители к знаменателю каждой дроби. Первый: (a+c)(a+b) = a^2+ab+ca+cb , второй: (b+c)(a+b) = ba+b^2+ca+cb и третий: (b+c)(a+c) = ba+bc+ca+c^2 . После элементарного упорядочивания и небольшой перегруппировки получаем: a^2+[ab+ac+bc] , b^2+[ab+ac+bc] , c^2+[ab+ac+bc]. Квадратными скобками выделено общее. Очевидно, имеем арифметическую прогрессию, с шагом, равным шагу исходной прогрессии деленному на тот самый *неизвестный* общий знаменатель. Почему неизвестный? Он может довольно сильно отличаться в зависимости от знаков самих a, b и c (которые не могут быть определены их квадратами). 8))) Но при этом, как было отмечено выше, он нам не нужен - все, что нам нужно, - чтобы он был общим. ;) А взаимное произведение трех знаменателей этот факт гарантирует. Вот такие пирожки... 8)
Карпова Татьяна Алексеевна:
темка 2012-07-17 18:43:19 пишет:
Из условия следует, что
a^2+c^2=2b^2. Нам нужно доказать, что 1/(b+c)+1/(a+b)=2/(a+c) Преобразуем
это домножив обе части на (b+c)(a+b)(a+c), преобразовав, получим,
a^2+c^2=2b^2. Т.е. первые 2 равенства равносильны, чтд
Частный случай сходится. 1, 25 и 49 дают в результате 2, 3 и 4 двадцатьчетвертых. Но что-то я все никак не вижу хорошего подхода к решению. 8((( Любопытно, что в целых числах больше *невырожденных* решений похоже, вовсе нет (с точностью до смены порядка чисел и/или знаков) - по крайней мере, бедняга эксель умаялся... XD В общем надо думать... 8)