А не... Ничего больше считать не надо. :))) Это я торможу - видно не проснулся еще. :))) Перепишем исходное произведение еще чуть-чуть. ;) (1!*3!*...*99!)^2*2*4*...*100 = (1!*3!*...*99!)^2*2^50*50! ;))) Итого (1!*3!*...*99!)^2*2^50 дают нам полный квадрат гарантированно, а 50! можно смело вычеркивать без дальнейших проверок и подсчетов. Впрочем, если надо, то легко убедиться, что 50! факториал не является полным квадратом и действительно нам мешает - он содержит 47 простых двоек. Остальное нас уже не интересует. ;)))

Админ:

KoKos 2012-09-04 10:01:02 пишет:

Продолжим, но немного пока. :))) 2*4*...*100 таки не являются полным квадратом, к сожалению. Такое произведение содержит 97 (нечет) простых двоек. 50 четных чисел - это 50 вхождений двойки в первой степени. Плюс еще 25 вхождений за вторую степень (4,8,...,100). И т.д. То есть одну нечетную степень двойки надо обязательно выкидывать. Всего таких кандидатов 65. Кроме того, надо убедиться, что все оставшиеся простые делители (нечеты) при этом тоже будут строго в четных степенях... Возникает большой соблазн выкинуть само 2!, но тогда все равно прийдется считать степени всех простых делителей оставшегося 4*6*8*...*100. 8))) А потом еще, возможно, и простые делители соответствующего факториала - ибо его-то мы уже безболезненно не вычеркнем. XD Так что разве что вечерком сяду, попробую посчитать...

Админ: интригуете

KoKos 2012-09-04 02:20:38 пишет:

Любопытная задачка... 8) Я правильно понимаю, - что "сомножителем" для вычеркивания следует считать один из полных факториалов, а не просто одно из чисел, присутствующее где-то внутри одного из факториалов? 8))) Для начала давайте поделим поделим сомножители-факториалы на "четные" и "нечетные". Естественнно, 3!=6 (чет), но аргументом факториала является 3 (нечет) поэтому будем считать его нечетным. Далее отметим, что все нечетные числа, содержащиеся уже внутри факториалов, входят в результирующее произведение четное число раз, начиная с соответствующего нечетного факториала (единица - сто раз, тройка - 98, пятерка - 96, семерка - 94, девятка - 92, и т.д.). Раскладывать девятку, как квадрат тройки пока не будем - ее и так четное количество, что в результирующем произведении даст полный квадрат все равно. То есть нечетные факториалы вычеркивать не особо хочется, они нам по предварительной прикидке очень даже подходят. Обратим внимание на четные... Четных же чисел внутри факториалов (не простых делителей) у нас в произведение входит всегда нечетное количество, - которое, если не разобъется каким-то образом на четное количество простых двоек, не позволит нам никак собрать полный квадрат. Кроме того, в четные факториалы будут входить и нечетные простые делители, - и даже без учета простых двоек, например, 95 вхождений шестерки (содержащей 95 - нечет - простых троек, соответственно) может нам сильно попортить жизнь... Давайте теперь попробуем переписать исходное произведение. 1!*2!*3!*4!*...*100! = 1!*(1!*2)*3!*(3!*4)*...*(99!*100) = (1!*3!*...*99!)^2*2*4*...*100 . Если нам удастся доказать, что 2*4*...*100 являются полным квадратом - то задача будет решена, вычеркивать надо 1! , который ни на что не влияет. ;))) Если не является, прийдется искать такое n, чтобы n! можно было вычеркнуть, или доказывать, что такого n не существует. Для чего прийдется считать скрупулезно четность степеней всех простых делителей в итоговом произведении (не забываем, что 6=3*2 и содержит нечетный простой делитель). Сорри, но это уже не сейчас... Подустал и выдохся. Постараюсь продолжить завтра, но и не обижусь, если кто перехватит инициативу. :)))

Админ: так, так...

Добавьте комментарий:

© 2009-201x Логические задачи