Нашел случайно, вот тут: http://www.abitura.com/school/math_tur.htm . Там имеются и гораздо проще задачи, но эта стояла самой первой и я за нее зацепился, на свою голову... 8))) Битый час угрохал... 8)

Ваши ответы на задачу

ответов: 29

Evrinom 2016-04-24 15:49:11 пишет:

Ну что дубль три... В етот раз дядя Пифагор сказал окей.) Строим 2 окружности из концов отрезка радиусом в наш отрезок. Из точек пересечения строим еще две окружности радиусом в расст между етими точками пересечения. Из точки пересечения етих окр. строим окружность радиусом 2отрезка(Расст между последней точкой пересечения и дальним концом отрезка) Находим точку пересечения между етой окружностью и той, что строили в самом начале из конца нашего радиусом в наш отрезок))) Из ЕТОЙ точки пересечения строим окружность радиусом в наш отрезок. И точка пересечения последней окружности с нашим отрезком ето и есть середина) Таадаам...

KoKos: На этот раз сходится. Удвоение можно было и проще выполнить, но тут уж на вкус и цвет... :))

Evrinom 2016-04-23 18:04:28 пишет:

НУ тогда еще один "хитрый" ход)) Доказать не смогу, но 5 рисунков построил, все сошлось. Строим две окружности длиной в наш отрезок и центром в концах отрезка. У нас появляется 2 точки пересечения. Из одной из них проводим окружность, радиусом в расст между етими точками пересечения. Получаем точку пересечения с одной из первых 2х окружностей. Из етой точки проводим окружность радиусом также расст между первыми 2мя точками пересечения. Получаем точку пересечения с нашим отрезком) Далее отмеряем расст от етой точки до ближайшего конца отрезка. И проводим окружность из точки пересечения нашего отрезка с последней окружностью.)))) Тааадаам, точка пересечения и есть середина отрезка. Я спешу, мог напутать чего, если ошибся завтра то же понятней напишу)))

KoKos: Не, не выйдет - если, конечно, я правильно понял построение. :))) Выйдет 4-2*sqrt(3), похоже на середину, но не середина - 7% погрешности... ;)

Evrinom 2016-04-23 15:18:57 пишет:

Ммм, не не катит) Слишком неточно получается) Еще подумаю, но я уже поплыл...

Evrinom 2016-04-23 15:11:28 пишет:

Оу забыл, в самом начале пред объяснения мы строим две окружности из концов отрезка и проходящие через концы отрезка)))

Evrinom 2016-04-23 15:09:28 пишет:

Ну есть подленькая идея... Берем тыкаем иглой в один конец отрезка и строим окружность через второй конец отрезка. Через точки пересечения окружностей МЫСЛЕННО проводим прямую, которая где-то пересекает наш отрезок. Далее упарываемся... Не то далее мы из одного конца отрезка откладываем некое расст. за мнимой серединой отрезка (Ето я надеюсь каждый может мысленно сделать), тоже расст откладываем из 2го конца отрезка. И повторяем откладывать разные расст, пока точки пересечения етих окружностей с нашим отрезком не совпадут. Хз насколько ето точно, но о какой точности можно говорить, если отрезок имеет толщину?)))

KoKos: :))) Эдак мы умаемся. Можно спокойно решить точно за конечное (и небольшое! 8))) число ходов - что несомненно приятнее бесконечного предельного приближения. ;)

андрюха орленок 2015-02-01 15:18:47 пишет:

окружности одинаковые

Вася Пупкин 2012-11-16 20:53:14 пишет:

Кокос, очхор, тогда я Вам больше ею мозги ею полоскать не буду, но с Вашей тоже не согласен, и вот на эту тему, если позволите, еще пополощу немножко. Мне не кажется правильным в _данном_ случае слишком нажимать на отдельность мух и котлет. Во-первых, задачи эти возникли из инженерных, и никакого особенного дальше развития не было -- обсосали и забыли. Кстати, поэтому, мне кажется, что узнавать, как все-таки "по закону" принято, надо не у , скажем, знакомого математика, а у препода, скажем, сильного матшкольного, или что-то в таком духе -- поскольку, естественно, это вопрос правил(препод, сославшись, скажем, на Адамара, а то и вовсе на Штайнера, а то и вовсе на Аполлония, скажет, как там в уставе написано. Я думаю, что в каком-нибудь Куррант-Робинсе это может быть, или у Радемахера с Теплицем, но у меня их нет, и гуглить сейчас ломает). Так вот, возвращаясь -- кмк, поэтому этот раздел слишком уж отрывать от прикладности большого смысла не имеет(сам по себе он дальше никуда не). Это первый аргумент, а дальше -- попробуем уточнить, что такое Ваш сферический конь. Так вот -- ну да, понятно, что идеальности не бывает, но мы всегда можем сказать -- мол, ничего, карандаш тупой -- сделаем поострее, еще в 10 раз тоньше, еще в 100 раз и т.д. То же самое с иголкой. Понятно, что где-то там на атомных размерах(нескольких, или сотен, не суть) мы обломаемся, но в принципе --- вот есть направление, в котором двигаться, вон он, математический предел, до него не дойдем, но до физического еще топтать и топтать, и по пути мы всегда сможем сказать -- вот, еще во столько раз идеальнее стали. Это про чертилку и иголку. Дальше возьмем робота, у которого руки не дрожат, дадим ему циркуль, а на глазах у него хреноскоп. Робот смотрит хреноскопом и чертит циркулем, без дрожи рук. Его чертилку и иголку мы умеем приближать к идеалу, а хреноскоп -- вот тут облом, разобранный в предыдущем обсуждении, у хреноскопа повышение разрешения упрется гораздо раньше, на отрезках порядка радиуса окружности(пусть даже умноженного на офигезно маленькую, но все равно константу). Это я сейчас не к тому, чтоб повторить про облом хреноскопа, а именно к тому, что этот облом обрывает наш путь к идеалу куда раньше, чем физика чертилки и иголки. Поэтому мне и кажется, что Ваше отделение мух от котлет неправомерно. Если бы дело было только в циркуле-дрожании руки, то на вопрос "да ну, какой там идеальный" Вы всегда могли бы ответить про "еще в десять раз -- вот и ближе к идеальному, и вон он, предел, и понятно, как к нему ехать". И тогда отделение мух от котлет было бы правомерным -- вот, мол, конечно, мухи, но мухи зануляемы, и вон математически достижимая котлета, про нее и говорим. А тут -- ехай-не ехай, встал, считай, математический забор, и никакие заострения не помогут. Ну, или слово "идеальный" надо говорить уже прямо на этом заборе, что все-таки абсурд. Это, кстати, и определит еще имеющие смысл толщины, после которых дальше утончать бессмысленно -- и, кстати, пожалуй, и есть предлагаемая Вами задача(но решать ее меня ломает). Вот, я, пожалуй, могу сформулировать -- говоря обычно об идеальном, мы (в подобных контекстах) подразумеваем всякие там нулевые размеры(к которым, и не только размерам, можем пытаться устремлять физические величины, или оговоривая, что в данных условиях конечность пренебрежимо мала). А в данном случае, помимо математическогого нулевого предела существует математически же обусловленный конечный пороговый масштаб -- из-за него котлета принципиально неотделима от мух. Чертильная котлета отделяема, а вместе с глядельной -- нет. Вот если Вы замените чертящего и смотрящего робота на считающего -- тогда да, он с любой точностью(ну, до пределов машинной) выдаст Вам координаты, и Вы можете, скажем, юзать его в задачах на построение. Но они тогда и смысл теряют, споловинил координаты, вот и ответ. Вот, как-то так. Конечно, последнее слово все равно за упомянутым хорошим преподом или книжкой, но я бы поставил уверенно, что в Уставе -- моя точка зрения.

Вася Пупкин 2012-11-15 10:17:56 пишет:

Кокос, так ведь нет такого, идеального глаза, и вот его-то вводить глупо, задача обессмыслится -- во всяком случае, реальной задаче уже никак не поможет. А вот с ошибками -- другое дело. Минимизировать сколь угодно все накапливающиеся ошибки -- Ваш хреноскоп позволит. Про толщину -- это фигня. Пусть Ваш(наш) идеальный циркуль и чертит тоже идеальную линию, а хреноскоп -- он умный, и всегда, при любом разрешении утолщает ее до минимума, видимого глазу(увеличивая разрешение, Вы не утолщаете сами линии). Заменим для простоты касающиеся на горизонтальную прямую и параболу. Я хочу показать, что сколь угодно мощный хреноскоп нам точку касания локализовать не поможет -- если Вам и так это понятно, то прошу прощения за трату бумаги и времени. Пусть наша прямая идет вдоль нижнего края окна хреноскопа, парабола касается ее сверху, окно хреноскопа размерами 2х1(горизонтальный прямоугольник). Вы видите прямую и поднимающуюся над ней в обе стороны параболу, на краях окна хреноскопа поднятую на единицу, а в окрестности нуля сливающуюся с прямой. Вы решаете увеличить разрешение хреноскопа в десять раз(то бишь, раздуваете окрестность радиуса одна десятая) -- и видите новую картинку, в которой края параболы подняты уже всего на десятую(одна сотая, увеличенная в десять раз). Вы повышаете разрешение еще в десять раз -- и видите на краях хреноскопа подъем всего на сотую(десятитысячная, увеличенная в сто раз). Как Вы не подкручивайте хреноскоп, парабола все плотнее прижимается к прямой -- и вот Вам предел точности. А вот если Вы плохо видите, где у крестика центр -- хреноскоп Вам сколь угодно подробно центр крестика увеличит, и точность Вашего тыка будет ограничена только мощностью хреноскопа. Это -- опять-таки, к замечанию о накапливаемых ошибках(их мы хреноскопом вгоним в сколь угодно малое).

KoKos: Вася Пупкин, я понимаю Вашу точку зрения, но все же ее не разделяю. :) Я предпочитаю рассматривать котлеты отдельно и мух отдельно. ;))) Если мы рассматриваем таки идеальный (абстрактный) случай - то наш (Ваш, кстати ;) хреноскоп там вообще ни при чем. Точка касания существует и единственна, а уж каким образом сферический конь из вакуума воткнет в нее иглу идеального циркуля - нас интересовать не должно, в принципе. ;))) Если же мы рассматриваем таки реальный случай - то мы таки обязаны принимать в расчет ненулевую толщину линии, погрешность установки иглы циркуля и погрешность выбора раствора по заданным точкам. И никакой хреноскоп нам в этом не поможет, ибо покажет он большую жирную кляксу при увеличении разрешения. ;))) А дальше я уже с Вами согласился - определение одной точки касанием гораздо более неточно чем определение той же одной точки пересечением, но большое количество пересечений способно накопить бОльшую погрешность, чем касание. Вот и вся цена вопроса... :))) Если хотите - давайте зададим отношение радиуса отрезка к толщине линии и попробуем строго математически оценить погрешности в обоих случаях? ;)

Вася Пупкин 2012-11-15 06:07:25 пишет:

Кокос, ругаться я и не собирался, в личку неинтересно, для нее регистрироваться надо, а мне лень. Я думаю, что знаю, что Вы хотите сказать -- сперва, мол, сам про толщину карандаша заговорил, а теперь, наоборот, про идеальный циркуль. Это я не сам себе противоречу, а просто с какого боку не загляни, что с толщинами, что без -- точка касания локализуема(в смысле, ее можно показать) с конечной точностью, определяемой радиусом кривизны в ней. Точки пересечения от этого недостатка избавлены, как точки смены знака. Вот и все, дальше уже хождения по кругу

KoKos: :) Ну, оки, давайте подеремся публично. 8))) Тут Вы не угадали. Хоть я и сказал про погрешность "открытым текстом". ;) Абстрактно... Сколько существует в принципе точек *касания* двух окружностей? ;))) Сколько их найдет идеальная рука, поставившая идеальный микроскоп (или наноскоп, или чертичтоскоп - пусть идеальноскоп будет, ок? :))) под идеальный глаз (циркуль мы уже и так полагаем идеальным, как я понял?) ? ;) Без толщины линии радиус кривизны ничего не играет вообще. Да, или нет? ;))) А одна сотая относилась вовсе не к микроскопу - а к тому, что при построении инверсной сотни мы погрешность успеем накопить такую, что эта несчастная сотая будет "нервно курить в сторонке"... 8))) Даже с оптимизацией - вместе, обое будут. 8))) А в остальном я и так с Вами вполне согласен. ;)

Вася Пупкин 2012-11-14 23:31:48 пишет:

Кокос, это совершенно нерелевантный(я сильно смягчаю выражения) пример, про одну сотую. Все эти построения всегда предполагают "идеальный циркуль"(то бишь, делающий сколь угодно малые окружности и сколь угодно тонкие линии; постоения неидеальным циркулем, то бишь, с ограничением на радиус -- это отдельная большая наука, я ее не знаю). А вот насчет глаза -- если отрезок такой уж маленький, я поставлю его под микроскоп, и прекрасно таки разделю на 100 частей. А вот Ваши касающиеся окружности, наоборот -- чем сильнее микроскоп, тем больше будут напоминать две параллельные(или совпадающие) прямые. Увеличение разрешения никак ситуацию не улучшит(см. ранешнее замечание про отсутствие линейного члена), а то и ухудшит(квадрат меньше первой степени). Ни один преподаватель в здравом уме и твердой памяти решение, в котором точка найдена как точка касания, не зачтет -- и будет совершенно прав.

KoKos: Вася Пупкин, если уж нам суждено таки поругаться - то давайте сделаем это в личке? ;))) Благо таковая имеется. Вы сейчас сами себе же противоречите, и у меня есть что сказать по этому поводу - при всем действительном уважении.

Даша 2012-11-13 12:33:47 пишет:

Хорошо, а взять тогда самое меньшее растояние циркулем от точки пересечения окружностей к отрезку? это не будет середина? Или так не считается?

KoKos: Не, так уже предлагали в самом начале - так не считается. :)

Даша 2012-11-13 08:03:36 пишет:

Отрезок есть радиус. Сначала из одного конца отрезка чертим окружность, затем из другого. получается два круга. и две точки пересечения. Соединяем их линией.эта линия будет делить наш отрезок ровно напополам.

KoKos: :) Даша, а как мы линию будем строить циркулем? Не подскажете? ;)

Карпова Татьяна Алексеевна 2012-11-13 00:25:29 пишет:

Пусть дан отрезок AB. 1)Строим равносторонний треугольник АВС.2)Строим равносторонний треугольник СВD.3) Строим равносторонний треугольник BDE, тогда АЕ=2АВ. 4)Точку F получаем как точку пересечения окружностей с центром в точке А и радиусом АВ и с центром в точке Е радиуса АЕ.5)Окружность с центром в точке F и радиусом АВ пересекает отрезок АВ в искомой точке Х. Х - середина отрезка АВ, потому что треугольник АFХ подобен треугольнику АЕF c коэффициентом подобия 2.

KoKos: Ну вот и инверсия нашлась - стоило лишь зазеваться. :)))

Вася Пупкин 2012-11-12 21:48:10 пишет:

Кокос, "найти точку" означает "пересечь линии", ничего поделать не могу. Точка касания -- не находима, даже если радиусы заданы. Ошибка, о которой Вы говорите(накапливающаяся), будет иметь место и для идеально тонкого карандаша, поскольку ее происхождение -- глаз и рука чертящего. При этом пересечение далеко не уйдет, а Вам точку надо будет искать на -- на двух параллельных кусочках. Вы можете по-прежнему считать, что точка касания бывает, но я все, пас. Детей вот только если учить будете -- хоть их пожалейте, им еще жить и жить, а они ни в чем не виноваты.

KoKos: Вася Пупкин, я в с Вами в общем-то согласен. ;) В том случае, когда, как я уже и сказал, речь идет о реальном построении. Вы совершенно правы. Только скажите мне, как говорится, "как художник художнику" - честно? ;))) Если бы я попросил построить 1/100 данного отрезка - что бы Вы мне ответили? ;))) Вспомнили ли бы о погрешности? Или сказали бы "да отнефиг - у нас есть инверсия и мы все легко построим"? ;))) Во многих (в основном надуманных, олимпиадных) задачах на построение, которые мне встречались, рассматривается абстрактное построение - когда карандаш, циркуль, глаз и рука - все идеальны. И там погрешность в расчет не берется. И наоборот - обязательно берется всегда в расчет погрешность в практических задачах (прикладного инженерного пошиба), - и тогда вопрос о минимизации количества действий встает ребром. Хотя, конечно, мне трудно представить себе инженера, которому необходима предельно возможная точность, а вооружен он при этом одним лишь циркулем... 8))) Что же касается детей, то я их и не учу, и не собираюсь. :))) Звали и пели дифирамбы - но я сознательно отказался. Точка касания - это еще цветочки, по сравнению с тем, чему бы я их мог научить... Предпочитаю работать с уже сформированными личностями.

Вася Пупкин 2012-11-12 08:53:15 пишет:

Кокос, "такие сложности" -- именно к тому, что "касание гарантированное и точное" -- извините, бред. В окрестности точки касания линейного члена нет, и касающиеся выглядят, как две совпадающие линии, и строго найти точку касания по-прежнему невозможно -- ошибка будет не порядка толщины карандаша, а порядка единицы(ну, радиуса окружности). "Найти точку" -- _всегда_ значит "пересечь две линии". Второе замечание, про то, что одной окружности достаточно -- извините, но тоже не очень в кассу -- опять же, именно потому, что "дан отрезок", вообще говоря, означает прежде всего "даны два конца", и вовсе необязательно "прочерчен". Если Вы все же настаиваете на его нарисованности -- да на здоровье, мне не жалко, обойдемся одной окружностью, но использовать "гарантированное касание" как гарантию нахождения точки -- в любом случае по-прежнему не меньшая туфта, чем подгон раствора циркуля.

KoKos: Вася Пупкин, соглашусь с увеличением погрешности при определении касанием одной конкретной точки - но! а) Только при рассмотрении реальных карандашей и циркулей, в которых она и так есть. У идеального коня в вакууме :))) там никакой погрешности не будет. б) Не соглашусь с оценкой порядка, ибо чем меньше делается построений, тем меньше накапливается погрешность, не забывайте и об этом. ;) Пять построений с погрешностью в 1% уже дадут погрешность, почти такую же, как одно построение с 5% погрешностью. И также не соглашусь с Вашей трактовкой "отрезка" - который, по определению, является "множеством точек прямой, лежащих между...". Два конца всего лишь *задают* отрезок, но отнюдь не *дают* его. ;)

Вася Пупкин 2012-11-11 03:54:15 пишет:

Окей, переформулирую с заменой "всего" на "любую точку".

KoKos: :)

Вася Пупкин 2012-11-11 03:43:06 пишет:

Хе. Похоже, я нашел решение, не требующее использования инверсии(не в смысле "не говорить это слово", а в смысле "другие действия). Назовем наш отрезок единицей и расположим горизонтально. Удвоим его вправо(как удваивать с помощью циркуля, я объяснять не буду все равно). Получили двойку. Построим теперь на обеих единичках как основаниях равнобедренные треугольники с боковыми сторонами-двойками. Левый треугольник в дальнейшем будем называть основным, а правый побочным. Вершины этих двух треугольников есть опят-таки вершины горизонтального единичного отрезка. Удвоим и его вправо. Его середина -- вершина побочного треугольника -- лежит на пересечении двух окружностей: радиуса два с центром в общей точке двух оснований и единичного радиуса с центром в вершине основного треугольника. Такую же точку мы получим пересечением второй окружности с окружностью радиуса два и центром в самой правой вершине верхнего горизонтального отрезка-двойки. Эта точка, сталт, тоже будет серединои отрезка в двойку -- правой стороны основного треугольника. Сомметричным построением найдем середину левой стороны основного треугольника. Дев окружности единичного радиуса с центрами в этих серединах пересекутся в искомой точке -- середине единичного основания основного треугольника.

KoKos: 8))) Бррр... Утром гляну на свежую голову. --- Добавлено: глянул. :) Не понял только к чему такие сложности? 8))) Этот же принцип можно бы было реализовать всего на одном основном треугольнике. ;) Три его вершины и три окружности дают искомые середины сторон - разве нет? ;) Правда, дают таки касанием - но там-то касание гарантированное и точное. :) --- И еще добавлено: :) Кроме того, вторая-то середина нам и не нужна вовсе - нам же *дан отрезок*. ;)))

Вася Пупкин 2012-11-11 03:07:03 пишет:

Кокос, да пес с ним, с интригой -- мне, помимо лени, еще и по существу подход кажется неправильным. Это все равно как чел сошлется на т. Пифагора, а Вы потребуете развернуть -- сформулировать и доказать. Если кому-то надо рассказывать, как с помощью циркуля удвоить отрезок -- значит, циркуля он в руках не держал. Если кому-то надо объяснять, как с помощью циркуля построить образ точки при инверсии -- значит, об инверсии он понятия не имеет, и с нее пусть и начнет. Можно, конечно, перечислить все необходимые действия, не упоминая этого умного слова, но это неинтересно, отдает фокусничеством и кроликами из шляп, и познавательная ценность равна нулю.

KoKos: :))) Вася Пупкин, ИМЕННО по этим соображениям я и передумал и зачел Вам решение задачи. Уже давно. ;) --- Добавлено: хотя от подколки таки не удержусь. XD Не все можно построить одним лишь циркулем. ;))) Если даны просто две точки, - то отрезок прямой, их соединяющей, Вы, уж извините, умаетесь без линейки строить. ;)))

Евгенсио 2012-11-09 08:42:39 пишет:

Метод последовательного приближения не подойдет? На отрезке строятся две точки равноудаленные от концов. Из этих точек еще две в сторону центра и т.д.

KoKos: :) Конечно же, нет. Он из той же серии что и методы "касательных окружностей" - бесконечное количество неточных итераций с подгадыванием раствора циркуля. По сравнению с точным методом всего в семь росчерков циркулем - он никуда не годится... ;)

Евгенсио 2012-11-08 13:28:45 пишет:

Построение:
1. Строим окружность в точке А равной АБ
2. Из Б строим точки на окружности С, Г, В расстояние = АБ
3. Из В на ВБ строим точку Е расстояние = ВС
4. Из Е на ВБ строим точку Д расстояние = ЕБ
5. Точка Д – середина АБ
Доказательство:
1. Строим треугольник АСБ равносторонний сторона = АБ (все углы 60гр)
2. Из С строим перпендикуляр к АБ угол ДСБ = 30гр
3. Из С строим СЕ
4. В треугольнике ЕВС углы при стороне СЕ = (180-30)/2=75
5. Угол ДСЕ = ЕСБ = 15гр т.е СЕ – биссектриса БЕ=ЕД = 0,5 АБ

KoKos: 8) Сорри, без рисунка, да еще и кириллицей - не очень понятно, надо вдумываться и чертить самому... А я немножко занят, к сожалению. :))) Так что вердикт вынесу попозже, вечером. --- Добавлено: Проверил. Евгенсио, извините, что глюканул и не увидел картинки сразу... 8( К сожалению, у Вас та же ошибка, что и у Романа, только с другой стороны. :))) Проверка делается элементарно дедушкой Пифагором: ВС = ВЕ = sqrt(3) . Очень похоже на середину, очень соблазнительно... Но неверно. Глюк у Вас в доказательстве в самом последнем пятом пункте. ;) Биссектриса делит в отношении сторон, а они-то не равны. ;)))

Добавьте комментарий:

© 2009-201x Логические задачи