Впишем в наш тетраэдр сферу. Посмотрим на точки касания на гранях. Из равенства углов при противополжных ребрах следует, что для расстояний от точки касания до ребер треугольной грани существует всего три значения. Соединим все точки касания с ребрами соотв. граней, и развернем тетраэдр на плоскость. Посмотрим на центральный треугольник и смежный с ним. Две наши точки касания, понятно, расположены симметрично отн. общего ребра, и из них "в обе стороны" торчат такие "рожки" -- высоты на оставшиеся ребра. Вот тут пока что будет дырка -- мы примем, что эта "палка с рожками" "центрально-симметрична" отн. своей середины -- то бишь, "рожки" одинаковой длины торчат в разные стороны от "палки". Смежный треугольник получается проведением касательных из вершин общего ребра к окружностям радиуса каждой из "рожек". Ну, и тогда сразу видно, что центральный треугольник образует параллелограмм со смежным, и, сталть, те палки, что были противоположными ребрами, равны по величине.
\n\n
Ну, а теперь вернемся к дырке -- можно, конечно, шутки ради "палку с рожками" сделать не центрально, а зеркально-симметричной(то бишь, боковые треугольники симметричны центральному отн. общей стороны), но тогда, пометив все равные отрезки, мы быстро придем и вовсе к равносторонним треугольникам и правильному тетраэдру.
Админ: вроде так :)
Вася Пупкин 2013-03-13 20:07:45 пишет:
Да, накосячил я -- засыпал, и второй раз тоже спорол. Кокос, спасибо. Админ, стрирайте лажу беспощадно. Анна, да нет, Кокос прав.
Админ: Что написано пером... на самом деле мысли то тут есть интересные
:) Вася Пупкин, тут есть нюанс... Углы, вне всяческого сомнения, будут лежать именно в плоскостях общего пердикуляра (ой, как бы меня побили линейкой за подобную формулировку XD XD XD ) - но на равнобедренность рассчитывать таки никак нельзя. ;) Ибо в "своих" плоскостях эти углы позволено крутить как угодно вокруг оси-ребра.
Вася Пупкин 2013-03-13 11:09:43 пишет:
А, не, все пучком. Только плоскости давайте смотреть не черезребровые, а ребрам пердикулярные(и по-прежнему проходящие через наш общий пердикуляр). Получим два треуга, равнобедренных, с одним и тем же углом при вершине и одинаковой высоты. Сталть, и основания у них одинакие, а основания -- это проекции ребер на эти плоскости, а угол между плоскостью и ребром один и тот же, как он есть угол между двумя плоскостями. Все, из равенства проекций, сталть, следует и равенство ребер.
Вася Пупкин 2013-03-13 10:51:36 пишет:
Отставить, лажа это. Админ, игнорьте, плз.
Вася Пупкин 2013-03-13 10:29:03 пишет:
"одинаково запущенными из высот" -- читать как "одинаково запущенными из вершины"
Вася Пупкин 2013-03-13 10:26:36 пишет:
Ну, рассмотрим пару противоположных ребер. Они скрещивающиеся. Проведем к ним общий пердикуляр. Теперь через ребро и пердикуляр пеоведем плоскость, она посечет наш тетраэдр по треугольнику. У этого треугольника есть высота(наш пердикуляр), основание(наше ребро) и как-то отходящие от высоты две боковушки(полученные пересечением нашей плоскости с двугранным углом при втором ребре. Посмотррим теперь на такую же картинку на плоскости, проведенной через второе ребро. Опять треугольник, высота та же, и боковушки отходят от нее под теми же углами(поскольку двугранный угол тот же, и угол его ребра с плоскотью тоже тот же. Океюшки, значит, имеем два треугольника с одинаковыми высотами и одинаково запущенными из высот боковушками -- то бишь, и с одинаковыми основаниями(которые и есть наши ребра). Итого -- таки да, верно.
Хммм... :)) Админ, а Вы уверены, что эта задачка недостойна "мущщинской" сложности? ;))) Лично для меня, несмотря на вроде бы вполне "углубленную подготовку", XD XD XD понятие "равногранный тетраэдр" оказалось воистину открытием. 8D Но даже несмотря на столь явную путеводную звезду, собственное доказательство я таки еще не готов представить (а просто нагуглить и бездумно спереть готовое - не интересно, даже если оно и вправду из школьного учебника). 8)))