"Монстр первого порядка" нам точно не подходит - ибо он сам очевидно делится на те же 11, а вот то, что получается в результате - уже нет. Поскольку полный квадрат не может содержать простой множитель нечетной степени, то первый шажок к победе :)) у нас в кармане. Остается придумать, что делать с монстрами высших порядков... 8)))
:) Ну зачем же? Конечно, гвозди можно забивать и микроскопом, и можно их вталкивать вручную... 8))) Но если под рукой есть молоток - то почему бы им не воспользоваться? 8)
Ну говорю же - пролопухал. :))) Посыпаю голову пеплом. 8)
Но число выходит довольно любопытное. (как показывает Эксель :) 9182736455463728191000 - прямо почти палиндром какой-то... 8))) Если эти 22 цифры "пачкой" *повторить в записи* любое целое число раз, и в конце *прибавить* (а не дописать :) единицу - то полученный в итоге "монстр" 8))) при умножении на 121 даст нам подходящее число из единственной двойки и немерянного стада единичек... XD XD XD Если кому интересно, эксельником могу поделиться.
Остается вопрос - может ли один из монстров (естественно, повторенный больше нуля раз ;))) оказаться полным квадратом? Надо еще чуток подумать... :)))
:))) Тьфу, опять пролопухал, сорри. Надо таки на бумажке писать, но лень ведь... XD XD XD Там просто зю и останется - остальные нули. Итого зю у нас обязано равняться 1, минутку, - похоже, что последовательность разрядов выходит однозначно заданной, щас гляну, что из этого вылезет. 8)))
:) djd usb, я прав в том, что Y=1 ;))) - есть еще одна маленькая деталь, 8))) которую я пропустил, потому что меня уже ждало такси, а Вы упустили. У нас есть еще и X^2. ;))) Который, в заданных условиях может оканчиваться *только* на ...001 - два нуля из сотни в числителе, один ноль из (Y-1), и единичку обратно из самого равенства. Такие квадраты, несомненно, существуют, НО! будучи домножен обратно на 121 он нам должен дать *наш* исходный квадрат, не так ли? ;)) Рассмотрим четвертый разряд X^2 - пусть будет цифра "зю". И домножим, как и полагается. Тогда четвертый разряд *нашего* квадрата будет равен 1*зю+2*зю+1*зю+зю*1 = 5*зю. Покажите мне зю, такое, что при умножении на 5 даст 1 в младшем разряде - и я поверю в Ваш контрпример. ;)))
Идея такая: если число M имеет n знаков, то M^2 будет иметь либо 2n, либо 2n-1 знаков. Если первая цифра M^2 равна 1 или 2, то в M^2 будет (наверное?) 2n-1 знаков. Видимо (?), M^2 заканчивается на 21, т.е. двойка стоит на четном месте (от конца). Сумма цифр (единиц), стоящих на нечетных местах, равна n, сумма цифр, стоящих на четных местах (единиц и двойки), равна (n-2)+2=n. Отсюда, по признаку деления, M^2 делится на 11.
djd usb: То что М^2 имеет 2n-1 знак это еще не известно. Ну вот к примеру 40^2=1600( это просто пример числа квадрат которого на 1 начинаетмя) т.е в принцепе знаков может быть и 2n. И в этом случае число на 11 очевидно не делится на 11, но тогда уже надо будет доказать, что квадратлм он не может быть))
Никого пока не понял ;) Но продолжая свои "выкладки" (плюс подсказки про признаки делимости) - остановился на том что количество единичек Перед 121 - у нас должно быть чётным - для того что бы доказалось то что просили. Дальше я как-то пытался доползти к этому "с другой стороны", т.е. через первые цифры возводимого в квадрат числа - но пока не срослось... Не все варианты просмотрел ещё - бумажка закончилась :)
Как уже показано ниже, наш квадрат может оканчиваться *только* на 21. При этом, если он (квадрат! ;) делится на 11, то он делится и на 11^2=121 - ибо 11 простое. Допустим, что существует некое натуральное X, такое, что (X*11)^2 равно нашему квадрату. Так и запишем: (X*11)^2=100*Y+21 . При этом натуральный Y состоит из одних только единичек, в конечном(!) количестве. Преобразовываем: X^2*121=100*Y-100+121 => (X^2-1)*121=100*(Y-1) => (X^2-1)=100/121*(Y-1). 100/121 или (10/11)^2 - это у нас бесконечная несократимая дробь и единственный способ поправить дело - это заставить (Y-1) делиться на 121. Но вот беда - Y то у нас состоит из одних единичек, помните? ;) Так что каменный цветочек не выйдет... 8))) Точнее, выйдет в единственном случае: Y=1 . ;)
djd usb: Ну смотрите. Пусть Y-1=11...110( 22 единицы) тогда Y-1/11=1010101...101010(11 единиц, и все на нечетных местах) ну значит оно еще на 11 делится. Тогда вы не правы в том что Y=1
А в чем проблема? Это всего лишь заход с другой стороны. ;)) Если 121 является единственным подходящим квадратом, то его делимость на 11 очевидна и в дальнейшем доказательстве не нуждается. ;))) А поскольку я вполне уверен, что он единственен, то вот и все. ;) Если хотите, попозже докажу единственность строго.
djd usb: Мне очень интересно, как вы это докажете...
8) Хм? djd usb, Вы хотите сказать, что кроме 121 существуют другие полные квадраты, удовлетворяющие условию? 8)))
Давайте глянем навскидку... Младший разряд полного квадрата не может быть двойкой. Значит, в младшем разряде числа стоит либо 1 либо 9. Тогда 2 у нас с гарантией во втором разряде квадрата, ибо при любой цифре Х (в исходном числе) второй разряд квадрата формируется как 1*Х+Х*1 либо 9*Х+8+Х*9 - то бишь, в любом случае четный. Можно, конечно, перебрать все комбинации 1,9 и Х - чтобы 100% убедиться, что более двух единиц никак не получится, но это уже не сейчас. :))
djd usb: Я здесь не вижу доказательства того, что число делится на 11.
ПС единственное ли 121 или нет --это уже совсем другой и более сложный вопрос.
Ну что же... Судя по всему кроме одиннадцати есть ещё три таких числа, оканчиваться они будут на ...93239, ...06761 и ...24489 дальше упёрлось в разрядность ехеля а расчехлять РВСН как-то лениво, да и не "тот" это метод явно. Так что на этой оптимистической ноте - пойду-ка я спать :)
Может хотя бы "кол"? А может покрасить чего-нибудь надо?,... Про сложность не ко мне вопрос - это вверху стоит маленький красненький человечек - это к нему. а что, это Может быть и какое-то Другое число? Так-то я до конца не допроверял, некогда было, но сейчас могу заняться. ПС: а для баллов и прочих "оценок" - я уже слишком старый... видимо. Точнее "наверное".
Админ: пожалуй, подниму сложность :)) Изначально показалось, что достаточно опереться на признак делимости на 11, но всё не так просто оказалось.
раз сложность "детская" то точно - потому что это число 11. из начала решения - заканчиваться оно может только на 1 или 9, потому что квадрат на 1 потому что на 2 не бывает, а дальше - много выкладок надо, но похожее было уже, смотрим на квадрат как на сумму единиц и больше единиц в квадрате и всё достаточно быстро срастается
djd usb: За такое решение поставил бы 0 баллов. Вы условия не поняли наверное.
Пс и почему уровень задачи написали легких, хотя он не очень-то и простой