На два быстро вращающихся валика кладется доска (см. картинку) так, что центр доски немного смещен относительно центра расстояния между валиками. С какой частотой будет колебаться доска, если коэффициент трения равен K?
Обозначим через N1 и N2 силы реакции валиков на доску, x - смещение центра масс (ЦМ) доски.
Тонкость состоит в выборе оси для моментов. Можно выбрать ось, проходящую через ЦМ доски (удобно, т.к. доска не вращается вокруг ЦМ). Тогда,
N1(A+x)=N2(A-x),
т.к. сила тяжести доски не создает момента относительно ЦМ. Однако эта ось движется с ускорением, т.е. уравнение моментов по сути записано в неинерциальной системе, что приводит к необходимости учитывать и моменты сил инерции. Но сила инерции проходит через ЦМ и поэтому также не создает момента.
А можно записывать моменты, как и сделал Вася Пупкин, относительно неподвижных осей. Придется написать только два уравнения.
Имеем:
N1+N2=Mg
N1(A+x)=N2(A-x), N1-N2=(N1+N2)x/A=Mgx/A
Разность сил трения равна K*N1-K*N2=K(N1-N2)=Mw, w - ускорение ЦМ
КMgx/A=-Mw, по 2-му закону Ньютона
w=-(Kg/A)*x
Это уравнение гармонических колебаний (можно вспомнить математический маятник, груз на пружинке, "путешествие кирпича" и.т.д).
Ивана2000, не знаю, какая тонкость. Момент считаем отн. точки опоры на один из валиков. Тогда одна сила -- вес палки, с плечом A+X, вторая, ее уравновешивающая -- реакция опоры, с плечом 2A. Приравниваем два момента, получаем для реакции опоры M*g*(A+X)/2A, a для второй, сталть, M*g*(A-X)/2A, соответствующие трения пропорциональны и направлены друг против друга, разность их, сталть -- см. первый ответ.
Ну, из равенства сил -- сумма двух реакций опор равна весу палки. Из равенства моментов -- реакции опор пропорцинальны полудлине палки плюс-минус отклонение ее центра от нулевой позиции(середина расстояния между колесами). Оба трения равны к на рекцию опор, их сумма(с учетом знака) -- итоговая горизонтальная сила, равная к*м*жэ*Х/А, где Х -- отклонение от центра, м -- масса палки, жэ -- ускорение свободного падения, А -- полурасстояние между валиками. Итого, у нас есть пружина с коэффициэнтом жесткости К равным к*м*жэ/А. Частота колебания массы м на пружине жесткости К есть скрт(К/м), то бишь, в нашем случае -- скрт(к*жэ/А). Я бы понизил сложность.