Траектория из двух отрезков не может быть замкнутой (если, конечно, это отрезки прямых на плоскости, чего, вообще-то в условии не указано... ;))). Соответственно, для периодичности, один конец каждого отрезка обязан быть перпендикулярен касательной. Для круга это диаметры. А из одной точки окружности, которая должна быть общим вторым концом для двух отрезков можно восстановить лишь один диаметр.
ivana2000: Да для круга-то как раз два совпадающих диаметра (туда-обратно-туда-обратно...) и будут периодической траекторией. Это и из вашего комментария следует.
ivana2000: Ответ в примечании, но для этого надо открыть ссылку «решение». Если не хотите открывать, то «гладкая» означает, что кривая имеет касательную в любой точке.
А для того , чтобы определить ,есть ли траектория с большим числом звеньев , надо построить треугольник с наибольшим периметром, вписанным в данную выпуклую фигуру
А граница представляет собой выпуклую или вогнутую кривую? Или это не имеет значения ?
И выпуклый бильярд это бильярд Синая?
ivana2000: Фигура называется выпуклой, если каждая точка отрезка, соединяющего любые две точки этой фигуры, принадлежит этой фигуре.
Насчет вогнутости/выпуклости границы не понял. Вогнутость/выпуклость линии по отношению к чему?
Не понятно, требуется бильярд подгонять под задачу, или речь идёт о всех возможных бильярдах сразу. Чтобы существовала траектория с двумя отрезками, достаточно, чтобы существовало две параллельных стороны, между которыми можно провести общий перепендикуляр. Для трех отрезков, соответственно, какие-то три стороны должны ложиться на ребра равностороннего треугольника, проходя через середины его сторон. Очевидно, что такое возможно не во всяком бильярде, но такой бильярд соорудить можно.
ivana2000: Имеется ввиду ПРОИЗВОЛЬНЫЙ бильярд, удовлетворяющий условиям задачи.