Покажите, что единичный куб не может быть разбит на конечное число меньших кубов с попарно неравной длиной ребра. Следует заметить, не так с квадратом.
Вообще говоря, задача относительно древняя. Примерно до 40-х годов прошлого века считалось, что квадрат нельзя распилить на неравные квадраты. Однако четверым студентам-математикам из Англии удалось опровергнуть это мнение и найти возможное разрезание. «Теория» элементарная, но достаточно громоздкая. Если есть желание познакомиться с подробностями, наберите в поисковике «Квадрирование квадрата».
Насчет куба все проще. Вот примерное «стандартное» доказательство.
На нижней (условно) грани куба выбирается наименьший кубик. Почти очевидно, что этот кубик находится внутри этой грани, т.е. со всех сторон окружен кубиками бОльших размеров. Значит на верхней грани этого кубика должны находиться кубики еще меньших размеров, образующие своими нижними гранями полный квадрат. Далее выбирается наименьший кубик на верхней грани первого наименьшего кубика, который должен находиться внутри грани. Процесс повторяется. Т.к. процесс повторяется до бесконечности, то ясно, что конечным числом кубиков заполнить исходный куб нельзя.
Кстати нельзя заполнить и гиперкуб любой размерности гиперкубиками той же размерности.
А вот пример разрезания квадрата на 21 квадратик. На меньшее количество, вроде бы, разрезать нельзя.
Хм... А что именно "не так" с квадратом? Квадрат можно разбить?? 8)) Без разрезов и склеек меньших квадратиков? 8))) Или в смысле - для квадрата не так доказывается?