Никита расставил по кругу 6 натуральных чисел, а Саша заметила, что каждое число в круге равно либо сумме, либо разности двух своих соседей. Какое количество различных натуральных чисел мог использовать Никита в круге?
__Итак, условие открывает нам (если Саша не совсем дура) набор {1, 2, 3, 4, 5, 6}, из которого мы должны исключить все числа, не являющиеся ответами к задаче. Будем действовать по наитию от простого к сложному.
__Положим, все числа в круге одинаковы. Но тогда для любого числа должно быть справедливо одно из выражений
{a=a+а -> a=0;
а=а-а -> a=0},
что противоречит условию (N э а). Таким образом {1} отсекается. Ну а ежели 6 чисел в круге не равны между собой, найдется как минимум одно, непревзойденное другими.
__Возьмем его.
__Возьмем число а, непревзойденное в наборе и присвоим ему порядковый индекс 2 в круге (индексировать будем с 0). Ясен пень, что получено оно может быть лишь вследствие суммированья (арифметического): так, обозначим соседние к а числа как b и c (по возрастанию индекса) и подлинно, что если
N э {а,b,c},
то при
а=b-c
b=(a+c)>a,
что нам противуречит, а значит,
а=b+c,
откуда
b=a-c и c=a-b.
__Числа 1 и 3 круга могут быть либо равны между собой, либо не равны: третьего не дано. Пускай же эти числа равны (b=с то бишь). Но тогда их можно представить лишь как
a-b=b
и никак иначе, ибо а, являясь соседним для обоих, уже застолплено и решение
b=a+x
относительно целого х с учетом
b=a-c, b=с
приводит однозначно к
x=-b.
Но а раз числа 0 и 4 круга так же равны b, то число 5 может быть записано лишь как
b+b=a,
ибо b-b дает не натуральный 0 и Саша не полная дура. С тем для 0-го и 4-го чисел круга вольны составить
b=a-b,
не допустив ошибки, за чем и имеем доказательство для 2 различных натуральных чисел.
__В оставшихся случаях числа 1 и 3 не равны (положим, b>с, что, впрочем, безразлично) и этим исчерпывается наше зачатое выше ветвление. По аналогии с предыдущим рассуждением число с индексом 0 в таком случае есть
a-b=с,
а число 4 -
a-с=b.
Число 5 может либо равняться а, либо нет. Положим, оно тождественно а. Тогда можем записать для чисел 0, 4, 5 соответственно,
c=a-b,
b=a-c,
a=b+c,
что вторит условию, а стало быть, возможны 3 различных значений чисел.
__Пусть теперь число 5 не равно а, а равно х, N э х. Тогда, поскольку b>c, для чисел 0, 4 впору записать
с=b-x,
b=с+х,
откуда в обоих случаях получаем
х=b-c,
что опять-таки соответствует условию, и, стало быть, действительны 4 отличных друг от друга числа.
__Cим исчерпываются все варианты и закрывается предыдущее, начатое нами ветвление.
Вроде как должны быть и суммы и разности. Значит где-то они будут соседними: a, a+b, b, a. Снова а, потому что (a+b)-b. С левого края тоже b, а не -b. Итого: b, a, a+b, b, a. Осталось последнее число. Конечно красивие было бы опять a+b. Тогда все числа напротив были бы равны. Но если надо максимальное количество разных, то подойдет и b-a. Ответ: 4. Пример; 3 2 5 3 2 1.