В сферическом яблоке радиуса 5 см. червяк прогрыз узкий ход длиной 9.8696 см., начав и закончив на его поверхности. Можно ли разрезать яблоко плоскостью, проходящей через центр, чтобы одна из образовавшихся частей была бы нетронутой?
Рассмотрим сечение яблока плоскостью, проходящей через центр яблока O и точки входа и выхода F1 и F2.
Геометрически очевидно, что все ходы не выйдут за пределы эллипсоида вращения с фокусами F1 и F2, большей полуосью a, меньшей полуосью b и расстоянием между фокусами 2f. Это следует из геометрического определения эллипса.
По условиям
2L = 9.8696 см., 2R = 10.0000 см.,
откуда L < R
Выкладки основываются на известных элементарных соотношениях между элементами эллипса.
Получаем, что b < h, т.е. точка X, а значит и весь эллипсоид, лежит ниже точки O. Режем яблоко на две равные части через точку O плоскостью перпендикулярной прямой AO. Верхняя часть будет нетронутой.
Не знаю как дляя трех-мерного случая, адля плоского случая вроде подходят следующие рассуждения. [1] Червяк не может дотянуться до центра, значит ход доходит только до окружности радиуса r<R. [2] Весь ход должен нажодиться внутри сектора (кольеретки) с углом alpha > 180. [3] Если alpha = 180, то ход короче. [4] Ход c1-b1-b0-b2-c2 короче хода a1-b1-b0-b2-a2. [5] Помните что alpha = 180? Значит b1, d1, d2, и b2 - на одной прямой. По этому ход c1-b1-o-b2-c2 еще кщроче. А это c1-o-c2, т.е. 2*R [5] Значит ход должен быть больше 10 см.
ok, хотите Решение на "детском" уровне (с червём нулевой толщины:) – нарисую и я тоже.
1. Итак, весь сфероид нам тут не нужен – достаточно просто эллипса, – в плоскости, содержащей тт. А1, А2, О.
Свойством эллипса, знакомым мне ещё с детства, является одинаковость суммы расстояний от любой его точки до его фокусов. Вот и здесь, как уже сказал игв, А1 и А2 можно принять за фокусы эллипса, и ход червя – в максимальном отдалении от входа-выхода будет в пределах этого эллипса.
2. При этом МАКСИМАЛЬНО УДАЛЕННОЙ от большой оси эллипса точкой будет точка _равноудалённая_ от фокусов эллипса, – вот она-то нам и нужна (т.X').
3. Таким образом, можно рассматривать только половинку хода червя L/2, считая вторую половинку зеркальной первой (относительно малой оси эллипса).
Смотрим рисунок.
Вначале у нас А1 и А2 максимально сближены, и эллипс "деградировал" в круг.
Расстояние "a" при этом = R – L/2 = 5 – 4,9348 = 0,0652 см
– и это _минимально_возможное_ расстояние.
Убедиться что это тАк, несложно: достаточно провести дугу (красная) радиуса r = L/2 = 4,9348 см.
Теперь очевидно, что если точка А1 скользит по окружности не красной, а синей (яблоко), то расстояние "а" при этом будет _увеличиваться_, – так как, чтобы отрезок А1'X оставался равным L/2, он должен превратиться в отрезок А1'X', а т.X' находится ДАЛЬШЕ от центра яблока (т.О).
Осталось доказать что |A1 X| + |X A2| > 2*R. Спасибо (за картинку,) Вы это за меня сделали. Достраиваем (вверх) до прямоугольника А1 А2 А3 А4. А4 над В1. Тогда |A1 X| = |A4 X| и [A2 A4] диаметр, т.е. 2*R. В треугольнике А4 Х А2, |A4 X| + |X A2| > |A2 A4|
Берем среднюю (на большом круге) точку между входом и выходом. Проводим радиус и режем через центр перпендикулярно радиусу.
Теперь, предпложим что он дотянулся, от вжода до какой-то точки поворота на плоскости разрела и назад до выжода. Это длиннее чем от входа до проэкции точки поворота на плоскость большого круга и до вахода. Теперь мы в плоскости большого круга, плоскость разреза - это прямая (см. рисунок.)
Червяк дотянулся от входа до точки поворота на прямой разреза и до выхода. Это длиннее чем, от входа до центра и до выхода, т.е. чем два радиуса.
А у сфероида есть название? сфероид = эллипсоид вращения
ivana2000: Замечательно. Но у эллипса и у эллипсоида вращения есть геометрические определения, свойства, соотношения между элементами. Нужно ими воспользоваться для обоснования.
Могу предложить построение. Берем среднюю (на большом круге) точку между входом и выходом. Проводим радиус и режем через центр перпендикулярно радиусу. Теперь можно показать что червяку не дотянуться своим ходом до плоскости среза.
Траектория червяка будет внутри сфероида с фокусами в точках входа и выхода червяка. При такой длине хода сфероид всегда оставит одну половинку яблока нетронутой.