Пара слов о доказательстве Vitaliy Tolstov.
Приводим исходное выражение к к дроби с общим знаменателем. После раскрытия скобок убеждаемся, что положительный числитель больше положительного знаменателя на положительную величину
x^3 + y^3 + z^3 + xyz,
откуда и сама дробь больше 1. Громоздко, но верно.
Можно доказать как на картинке, что существенно проще.
после преобразований мы получили неравенство x^3+y^3+z^3+xyz>0 которое верно при заданном условии x,y,z>0. Соответственно верно и исходное неравенство.
Полученное неравенство x(x+z)(x+y)+y(y+z)(x+y)+z(y+z)(x+z)>
(x+y)(x+z)(y+z) далее после перемножения и сокращений принимает вид x^3+y^3+z^3+xyz>0
что очевидно положительно при x,y,z>0.
Vitaliy Tolstov, теперь Вы просто преобразовали исходное неравенство, которое и нужно доказать, к другому виду, откуда следует, что опять же остается доказать, что
x(x+z)(x+y)+y(y+z)(x+y)+z(y+z)(x+z)>
(x+y)(x+z)(y+z).
Или я чего-то не понимаю?
Берем под общий знаменатель исходные дроби и получаем общую дробь (x(x+z)(x+y)+y(y+z)(x+y)+z(y+z)(x+z))/(x+y)(x+z)(y+z)>1 далее знаменатель переносим в правую часть и получаем x(x+z)(x+y)+y(y+z)(x+y)+z(y+z)(x+z)>(x+y)(x+z)(y+z)
x(x+z)(x+y)+y(y+z)(x+y)+z(y+z)(x+z)
----------------------------------- >1
(x+y)(x+z)(y+z)
при x,y,z>0 знаменатель (x+y)(x+z)(y+z) также >0, значит
x(x+z)(x+y)+y(y+z)(x+y)+z(y+z)(x+z)>(x+y)(x+z)(y+z)
после сокращения получаем
x^3+y^3+z^3+xyz>0
что справедливо при x,y,z>0.
Короче, нужно либо доказать, как и указал igv105, что минимум равен 3/2 и это дополнительно чего-то потребует, либо доказать в одну строчку, что сумма больше 1, используя очевидное соотношение.
igv105, ну да, правильно (кстати, как это получается?). Но вот доказать, что эта сумма больше 1, можно без всяких замен, теорем и т.д. Достаточно знаний начальной школы.