Вы должны выбрать одну из двух ставок. При первом варианте вы должны забросить баскетбольный мяч в корзину за один бросок. Если попадёте, то получите 50 тыс. рублей. Во втором варианте вам надо попасть два раза из трёх бросков, и тогда вы также получите те же 50 тыс. рублей. Какой из этих вариантов вы предпочтёте? Будет ли ваше умение забрасывать мячи влиять на выбор?


+ -

Ответ

Решение задачи

Ваши ответы на задачу

ответов: 8

KoKos 2018-11-14 11:03:41 пишет:

ivana2000, вариант «до двух попаданий» абсолютно идентичен варианту «не менее двух попаданий» - даже если на первый взгляд кажется, что это не так. :) Действительно, P^2 + (2*P*(1-P))*P = P^2 + 2*P^2*(1-P) = P^2*(P+(1-P)) + 2*P^2*(1-P) = P^3 + P^2*(1-P) + 2*P^2*(1-P) = P^3 + 3*P^2*(1-P)

ivana2000 2018-11-14 10:22:19 пишет:

Видимо, нужно воспользоваться формулой Бернулли для независимых испытаний. По этой формуле вероятность получить РОВНО m положительных исходов в n испытаниях равна
C(n,m)·[p^m]·[q^(n-m)], где
p – вероятность положительного исхода в каждом испытании, а q = 1 - p.

В данном случае n = 3, m = 2.
Вероятность попасть ровно 2 раза равна
P₁ = C(2,3)·p²·(1–p)¹ = 3·p²·(1–p).
Вероятность попасть не менее 2-х раз равна
P₂ = C(2,3)·p²·(1–p)¹ + C(3,3)·p³·(1-p)⁰ = 3·p²·(1–p) + p³.

На картинке красная линия – вероятность попадания при одиночном броске, зеленая – ровно два из трех, синяя – не менее двух (т.е. либо 2, либо 3).

Видно, что вариант забросить ровно 2 из 3-х имеет меньшую вероятность, чем у одиночного броска, да и вообще имеет максимум всего ≈0.45 при p≈0.7.

Если же нужно забросить не менее 2-х, то при p<0.5 выгодней 1-й вариант, а при p>0.5 выгодней второй. При p=0.5 разницы нет. Кстати, при p≈0.8 разница в вероятностях достигает максимума ≈10%.

Остаётся вариант, когда броски идут ДО двух попаданий, но потребуется некоторое уточнение условий.

KoKos 2018-11-14 02:52:40 пишет:

И, кстати, в принципе, строго математический случай можно вполне реально обеспечить безо всяких Хоттабычей. :) Если бросаем мы в невидимую цель (например, находящуюся за непрозрачной перегородкой) на которую у нас есть довольно точное указание, а результатов нам не сообщают, пока мы не исполним все три броска. Вот в таком случае надо обязательно выбирать первую ставку - независимо от крутизны нашего умения. :)

KoKos 2018-11-13 21:05:55 пишет:

K2, неее... :))) Поскольку речь идет все-таки об "умении забрасывать" - то бишь по собственному произвольному пожеланию, а не о "проклятии" или "желании Хоттабыча", - то триллера о "мяче Апокалипсиса, который ни в коем случае нельзя выпускать из рук, иначе он обязательно найдет ближайшее кольцо, сея по дороге смерть и разрушения" у нас не предвидится. 8))) Умение произвольно забрасывать в цель автоматически означает и умение с ровно тем же успехом забрасывать мимо цели - лишь бы было таково произвольное желание. ;)

K2 2018-11-13 14:15:42 пишет:

С третьим кстати подловили, но тогда вводим ещё и вероятность того что в зале какой-нибудь Хоттабыч и брошенный "в обратную сторону" мяч - таки попадёт :)

K2 2018-11-13 14:11:01 пишет:

Интересно... но детская? :)

1й = х
2й = x^3 + 3*(x^28(1-x)) = 2x^3 - 3x^2
(производных не помню, по этому...)

x > 3x^2 - 2x^3
2x^3 - 3x^2 - x > 0
x*(x-1)*(2x-1) > 0
в области значений первое положительно, второе отрицательно, тогда:
2x - 1 < 0
2x < 1
x < 0.5

Итого: если умение хуже 0.5 то лучше по первому варианту, если нет - то нет. (а как-то более в лоб - не получилось...)

ПС: для 0, 0.5 и 1 - всё равно как.

KoKos 2018-11-13 12:35:34 пишет:

:) Тут есть нюанс... "надо попасть два раза из трёх бросков" в вульгарной трактовке это "попасть НЕ МЕНЕЕ двух раз" - то бишь, например, попав два раза подряд на первых двух бросках, третий можно вообще не делать. :))) А если в строгой математической - то надо сделать все три броска и если вдруг все три попадут, то выигрыша НЕ будет. 8)

Пусть шанс забросить каждый отдельный мяч будет Р - оно же у нас будет и "умение забрасывать", от нуля до единицы включительно. Шанс на выигрыш при первом ваарианте равен ровно тому же Р. Шанс на выигрыш при втором варианте строго математическом будет М=3*Р^2*(1-Р) и М ВСЕГДА меньше Р (если Р не ноль, конечно - тогда без разницы). Шанс же на выигрыш при втором варианте вульгарном будет В=Р^3+М.

Поскольку условие позволяет, мы можем выбрать именно вульгарную трактовку. Даже если нас как-то заставят сделать третий бросок при двух уже удачных, мы всегда можем кинуть мяч в проивоположную от щита сторону - насильно приводя строгий вариант к вульгарному. XD Итого имеем: при Р=0, Р=0.5 и Р=1 нам абсолютно пофигу, какой из вариантов выбирать; при Р<0.5 выгоднее выбрать первый вариант; и при Р>0.5 выгоднее выбрать второй вариант.

ivana2000 2018-11-13 09:11:56 пишет:

Админ, во втором варианте нужно забросить РОВНО два раза или НЕ МЕНЕЕ двух раз?

Добавьте комментарий:

© 2009-201x Логические задачи