НП, как-то все это сложно. Признаки делимости – это, конечно, хорошо, но не проще ли использовать индукцию. Это – во-первых.
Во-вторых, а из каких соображений Вы нашли делители 101 и 111...11? Гениальная догадка? Подобные доказательства, где нужно «увидеть» какие-то конкретные числа, мне не нравятся, а признак делимости на 101, делители 10k–1, группы с «+» и «–», «грани» – это, вообще, жуть.
Все решается гораздо проще, быстрее и понятней на основании всем известной формулы.
Эммм... Это все прекрасно, но можно мне, в качестве исключения, делимость 101010101 на пять? Ж8)
не представился 2020-02-23 22:07:38 пишет:
Признак делимости на 101:
Число делится на 101 тогда и только тогда, когда модуль алгебраической суммы чисел, образующих нечётные группы по две цифры (начиная с единиц), взятых со знаком «+», и чётных со знаком «-» делится на 101. Например, 610757 делится на 101, так как на 101 делится | 61 - 7 + 57 | = 101.
Следует отметить, что нулевой результат также удовлетворяет условию делимости.
В нашем случае, при всех четных N>=2, имеем четное количество групп 01, которые сокращают (обнуляют) друг друга.
По другому, без использования признака делимости на 101:
101 - делится на 101.
1010101 = 101×10^4 + 101 = 101×(10^4 + 1) - делится на 101.
10101010101 = 101×10^8 + 101×10^4 + 101 = 101×(10^8 + 10^4 + 1) - делится на 101 и т.д.
Можно, используя знак суммирования, в общем виде для N записать, но я здесь не могу этот знак написать.
Признаки делимости на делители числа 10k — 1 : для делимости любого целого числа N на любой целый делитель q числа 10k — 1 необходимо и достаточно, чтобы сумма k-циферных граней числа N делилась на q. В частности (при к=1, 2, 3 и т.д.), получаем следующие признаки делимости на делители чисел 10^1 — 1 = 9, 10^2 — 1 = 99, 10^3 — 1 = 999 и т.д.
Следует отметить, что делителями вышеуказанных чисел, являются числа 11, 111 и т.д.
В нашем случае, при всех нечетных N>2, для первого числа 10101 -> 101 + 10 = 111.
101010101 -> 10101 + 1010 = 11111 (сложение в столбик, по старинке, нагляднее показывает) и т.д.
В общем случае добавляем слева группу 1010. Само число увеличивается на 4 знака (5, 9, 11 и т.д.). Слагаемая группа увеличивается на 2 знака (3, 5, 7 и т.д). К каждому слагаемому "добавляем" (физически, а не математически) по 10. Делителями являются 111 (3 знака), 11111 (5 знаков), 1111111 (7 знаков) и т.д.
не представился 2020-02-22 20:20:36 пишет:
Ну,естественно, еще и при N=1. Но тогда вообще без нулей.
не представился 2020-02-22 20:17:40 пишет:
Только при N=2.
При всех четных N>=2 делителем является число 101.
При всех нечетных N>2 делителем является число состоящее из N единиц.