Стороны исходного многоугольника, имеющего периметр 9 см., переносятся параллельно самим себе на расстояние 1 см. наружу и удлиняются до пересечения со смежными сторонами, образуя увеличенный многоугольник. Может ли площадь исходного многоугольника при этом увеличиться на 12 см^2?


+ -

Ответ

Решение задачи

Ваши ответы на задачу

ответов: 8

ivana2000 2021-06-15 23:29:13 пишет:

p = 9 – периметр исходного многоугольника,
r = 1 – расстояние перемещения сторон.

Находим площадь розовой «полосы» ΔS.
Т.к. α₁ + α₂ + ... = 360°, то все угловые секторы можно вписать в круг радиуса r без просветов и наложений, т.е. их суммарная площадь будет равна площади этого круга.

Т.к. ΔS > 12, то площадь всего раздвинутого многоугольника и подавно будет больше 12.

ivana2000 2021-06-15 23:29:00 пишет:

Картинка.

Айказ 2021-06-15 15:48:28 пишет:

Я пробовал написать всё решение за один раз. Но не получалось. А вставить картинку в "Комментарии" не знаю как.

ivana2000: Нужно зарегистрироваться.

Айказ 2021-06-15 15:46:20 пишет:

Из полученных пяти четырехугольников сложим один маленький пятиугольник, в который отлично вписывается окружность с радиусом 1см. Вычислим площадь окружности. Она равна "ПИ" * 1см * 1см = "ПИ". Эта площадь больше трех кв.см. А площадь маленького пятиугольника ещё больше. Следовательно площадь исходного 5-угольника увеличится на число большее, чем 12кв.см.

ivana2000: Вообще, пятиугольник приведен для примера, но рассуждения легко обобщить.

Айказ 2021-06-15 15:39:02 пишет:

В "кольце" получим 5 прямоугольников шириной по 1см и 5 четырехугольников, у которых по две смежных стороны, равные 1см. Общая площадь пяти прямоугольников равна 9см х 1см = 9 кв.см Отсюда вопрос: может ли суммарная площадь пяти четырехугольников равна (12 - 9) = 3кв.см?

Айказ 2021-06-15 15:32:45 пишет:

площадь изменится на число больше, чем 12кв.см. Для начала обзовем словом "Кольцо" полученную вокруг исходного 5-угольника площадь. Из вершин исходного 5-угольника проведем перпендикуляры к сторонам увеличенного 5-угольника

не представился 2020-11-12 20:50:05 пишет:

Увеличение площади будет больше, чем на 12см^2.

не представился 2020-11-12 20:47:17 пишет:

Не может, будет больше.

Добавьте комментарий:

© 2009-201x Логические задачи