На бесконечной сотовой сетке находится клякса. Площадь кляксы меньше площади одной соты. Всегда ли можно переместить кляксу так, чтобы она не покрывала ни один узел сетки? Если да - докажите, нет - приведите контр-пример.
Сорри, не по теме, - просто навеяло собственными перипетиями... :))) Старый анекдот. На консультации перед экзаменом подходит к профессору студент: "Вот в такой-то теореме, при доказательстве Вы аксиоматично использовали такое-то утверждение с оговоркой, что это очевидно. Но я вот тут уже третий день бъюсь лбом об стену и все же никак не могу понять, - почему это утверждение верно?" Профессор на это: "Да не вопрос" и начинает быстро рисовать на доске различные формулы и графики... Дойдя до половины доски, он останавливается, задумчиво чешет репу, стирает все и начинает писать заново. Исписав в итоге всю доску, профессор смущенно заявляет студенту, что не будет "подковыривать" того на экзамене за эту "очевидность". Приходит домой, запирается в кабинете, и пару часов строчит что-то на бумажках. После чего хлопает себя по лбу и с облегчением восклицает: "Тьфу! Так это же очевидно!" 8)))
KoKos 2012-04-12 11:03:48 пишет:
[скрыто]
Админ: Придраться не к чему - красиво и доходчиво.
KoKos 2012-04-12 00:22:07 пишет:
:) Пфф... доработал. 8) В целом, Вася Пупкин прав по двум пунктам. Во-первых, "элементарное" решение в данном случае все же есть (и даже не одно, в зависимости от подхода), но, чтобы к нему прийти, мне пришлось потратить примерно с десяток часов, и вспомнить много чего, чем не пользовался уже годами (причем таки не из школьной программы, пожалуй :))). Во-вторых, я пришел в итоге к похожему алгоритму. :) Стену текста сейчас кастовать не буду, - не то состояние. :( Либо запощу "кирпичиками", за пару дней, начиная с лемм, 8) либо уже цельной стеной где-то на выходных.
Вася Пупкин 2012-04-11 20:45:37 пишет:
Но задача про сферу все равно интереснее, и -- увы, по-прежнему мне кажется, что элементарного решения нет. А эта -- поиск примера, поприкидывай-найди, ни уму, ни сердцу...
Вася Пупкин 2012-04-11 20:42:13 пишет:
Ага, вот, кажется, есть -- но очень лень щщитать, попробую на словах убедить. Так вот -- возьмем кляксу в виде круга, описанного вокруг нашего шестиугольника(сторону примем за единицу) -- ну, с радиусом, скажем, не единичка, а единичка плюс дельта. В дальнейших рассуждениях я эту дельту буду скипать -- попозже поясню. Площадь нашего шестиугольника -- полтора корня из трех. Площадь кляксы -- пи(с точностью до дельты). Клякса получилась великовата, надо из нее вырезать эту разницу. Вырежем соотв. дырку в центре. Теперь, если в центр этой дырки пристроить вершину нашей сетки, три связанные с ней вершины попадут в кляксу. Мы можем спасти одну из них, сдвигая нашу вершину из центра, но все три не спасутся. Доказывать лень, но неверующий может зайти с другой стороны -- прижать пару из этой тройки к кляксиной границе, увидеть сдвинутую из центра центральную вершину, и убедиться, что оставшаяся из тройки вершина безнадежно попадает внутрь кляксы. Про дельту, пожалуй, все равно все ясно, ну ее. Короче, толстое кольцо, покрывающее шестиугольник, почти его площади, с не слишком большой(ну, того размера, который потребуется для компенсации разницы площадей круга и шестиугольника) дыркой в центре.
Вася Пупкин 2012-04-11 09:34:06 пишет:
Ох, черт, это я собирался в оригинал запостить, про квадратные клетки -- где придумали обе дочерние задачи. Админ, перенесите, пожалуйста, если согласны, что там уместней.
Админ: пусть здесь будет, здесь к месту
Вася Пупкин 2012-04-11 09:32:08 пишет:
[скрыто]
Админ: сложность поднял
KoKos 2012-04-10 21:30:42 пишет:
:) не представился, все наоборот - если НЕ поворачивать, то нет, невозможно - что я уже доказал чуть ниже.
не представился 2012-04-10 16:42:05 пишет:
смотря как переносить.
если не ПОВОРАЧИВАТЬ кляксу относит. соты, то тогда ДА, возможно.
KoKos 2012-04-10 09:41:48 пишет:
[скрыто]
Админ: дорабатывайте :)
KoKos 2012-04-09 21:32:31 пишет:
И конечно, же, вместо "равносторонний", следует читать "равнобедренный" треугольник, сорри. 8))
KoKos 2012-04-09 21:24:16 пишет:
Я подозреваю, что аналогичным способом можно доказать невозможность и для неправильной сотовой сетки, но там уже построения будут на порядок сложнее - а нас интересует всего лишь один контрпример. :)
KoKos 2012-04-09 21:21:42 пишет:
[скрыто]
Админ:
Михаил 2012-04-09 09:21:37 пишет:
А вы пробовали для начала перенести кляксу? Это же не возможно. Хотя если (каким ли бо способом) это возможно, то просто переносём кляксу в другую соту.
Админ: Каким-то образом возможно. Это же не лабораторная работа по кляксопереносу, а математическая задача :)