Шар, имеющий в точке A горизонтальную Скорость V (и кинетическую Энергию E), начинает свободное падение, и врезается в горизонтальную поверхность под углом α = 45°, совершая отскок (с углом отражения α1) на прежнюю высоту в точку B (т.е. удар абсолютно упругий), имея в т.B V1 и E1. ...Далее все повторяется – шар поскакал в далёкую даль.
– Определить:
1) Угол отражения α1.
2) Сколько процентов E после отскока превратилось в тепло, т.е. чему равно (1 – E1/E)*100.
3) В качестве "бонуса": чему равен угол α2 (после второго отскока), и потери Е, равные (%): (1 – E2/E1)*100.
– Точность ответов – до сотых.
/// График Силы реакции опоры N принимаем за полуволну синусоиды – от t0 до t2, с пиком в t1.
Деформацию шара и поверхности на участке соударения для простоты картины считаем отсутствующей.
Коэффициент трения (μ) = 1.
Момент инерции (I) шара = (2/5)·m·r².
Сопротивлением воздуха и трением качения пренебречь.
/// Задача _вполне_решаема_ – ...и "вышмат" здесь нужен тАк же, как вызов такси для похода в магазин напротив дома через дорогу:).


+ -

Ответ

Решение задачи

Ваши ответы на задачу

ответов: 8

jonson-72 2018-01-11 13:38:57 пишет:

(ещё раз рисунок – чтоб ближе бегать)

jonson-72 2018-01-11 13:38:07 пишет:

ОТВЕТЫ:
1) α₁ ≈ 54,46°;
2) Потери E ≈ 28,57%;
3) α₂ = α₁; потери Е₁ – отсутствуют.
– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – –
РЕШЕНИЕ:
• В фазе полёта горизонтальная составляющая Скорости V₁ шара остаётся неизменной.
• Единственной внешней Силой, которая _может_ воздействовать на шар по горизонтали, является Сила трения «F» – при ударе о поверхность. Точкой приложения F является виртуальная физическая точка шара (та, что в конкретное мгновение совпадает с геометрической точкой касания).
• F здесь: 1) создаёт в ЦМ шара тормозящее _линейное_ Ускорение «a»; и 2) создаёт Момент «M» (F·r), вызывающий _угловое_ Ускорение «ε» (M/I) шара относительно оси вращения (ОВ), проходящей через ЦМ, – которое легко пересчитывается в окружное (мгновенное линейное) Ускорение точек его "обода". ...Чтобы сократить количество символов в формулах (убрав кучу индексов), окружную Скорость (мгновенную линейную скорость точек обода относительно ЦМ-ОВ) я обозначу «Q», а окружное Ускорение – соответственно «q».
• Момент инерции «I» любого Тела имеет вид «k·mr²», где «k» – это коэффициент в виде простой дроби.
• Вводим переменные «х» и «y» – для обозначения чисел этой простой дроби:
k = х/y ; – и теперь выводим наше «q» (зная, что: «а = F/m»):
q = r·ε = r·М/I = F·r²/I = F·r²/(k·mr²) = (1/k)·F/m = (1/k)·a ;
...откуда: а = k·q ; a/q = k = х/y ; – (!) таким образом, _физический_смысл_ простой дроби коэффициента «k» М.и. – не что иное, как отношение Ускорений: линейного (а) ЦМ, и окружного (q) Точки приложения F. (Ускорение этой Точки относительно СО – их сумма.)

При начавшемся в t₀ скольжении шара, одна и та же сила F одновременно начинает (см. рисунок): а) уменьшать V (синяя линия) с Ускорением a; и б) наращивать Q (красная линия) с Ускорением q, – вплоть до их встречи в точке D. ...И как только эта встреча происходит, Сила трения F в тот же миг исчезает, – потому что исчезает _проскальзывание_ в точке касания: поступательная Скорость ЦМ шара сравнялась со Скоростью вращения его обода Q, = виртуальная Точка приложения силы ОСТАНОВИЛАСЬ (относительно поверхности-СО) – и далее шар просто катится, сам по себе, с равномерной скоростью V₁ (пурпурная линия). (..."Буфера", в виде Силы трения _покоя_, здесь НЕТ.)

• Горизонтальный и вертикальный Импульсы «p» (mV) шара в t₀ равны, так как равны (по Условию) соответствующие проекции Скорости: sin(45°) = cos(45°), – поэтому индивидуальных индексов не получают.
• Вертикальный Импульс шара за Время Δt = t₁ – t₀ (далее просто «t») гасится в ноль (по факту) Импульсом силы, равным N·t :
p – N·t = 0 ; t = p/N ; ...и Время гашения в ноль _горизонтального_ Импульса шара Силой трения (при условии её наличия в полном объёме, т.е. при проскальзывания шара ВСЁ Время t):
(F = μ·N = N) ; t = p/F = p/N ; – ...точно такое же. – Теперь можно составлять уравнения и рисовать графики. ...Хотя.... весь этот параграф можно считать избыточным:) – есть красивое своей простотой Решение задачи НЕ через решение систем уравнений (с косинусами или без).

Итак. – Синусоидальная N в Условии – просто страшилка для неискушённых:). На самом деле форма графика N здесь совершенно не имеет значения: V₁ зависит исключительно от соотношения q и a, т.е. коэффициента k. – Доказать это несложно:
• На ничтожно малом отрезке времени Δt ничтожно малый участок графика скорости можно считать прямолинейным;
– при этом Q получает приращение: ΔQ = q·Δt ;
...а V уменьшается на: ΔV = a·Δt ;
ΔV/ΔQ = (a·Δt)/(q·Δt) = a/q = k ;
Сумма (Σ) всех ΔQ – как сумма высот микроступенек вверх – в точке встречи графиков («D») равна координате Y(D);
Сумма (Σ) всех ΔV – как сумма высот микроступенек вниз – в той же точке равна: V – Y(D);
• Понятно, что в точке пересечения графиков скорости равны:
Q = V₁ = Y(D), т.е. ΣΔQ = V₁ ; ΣΔV = V – V₁ ;
• Естественно, что ΣΔV/ΣΔQ тоже равно k ; =>
(V – V₁)/V₁ = x/y ; откуда (очевидно из рисунка):
V₁ = V·y/(y+x) ; • Вводим коэффициент «K»:
K = y/(y+x) ; ...и теперь: V₁ = K·V ; тчк.

----- Зная V₁, легко посчитать угол α₁:
Для шара: k = 2/5 ; K = 5/7 ; V₁ = (5/7)·V. ...Поскольку вертикальный Вектор в t₂ равен по модулю таковому в t₀, – зная коэфф. уменьшения горизонтального (и зная, что tg(α)=1), вычисляем тангенс α₁:
tg(α₁) = 1/(5/7) = 7/5 ; ...и его arсtg даёт нам искомый Угол:
----- Итак, Ответ №1: α₁ ≈ 54,46°.
– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – –
• Полная кинетическая Энергия E в т.А = m·V²/2 ;
• А полная кин. Энергия E₁ в т.В – это уже сумма:
1) E линейная ЦМ шара (Eл = m·V₁²/2) ; плюс...
2) E вращения шара (Eв = I·ω²/2) ; – сумма:
E₁ = Eл + Eв = m·V₁²/2 + I·ω²/2 ; ...
– приводим Eв к E(Q) (ω = Q/r ; Q = V₁):
Eв = I·ω²/2 = I·Q²/2r² = k·m·r²·Q²/2r² = k·(m·V₁²/2) = k·Eл ;
E₁ = Eл + k·Eл = (1 + k)·Eл ; – и снова только «k»!
• Но (!) далее: 1 + k = 1 + x/y = (y+x)/y = 1/K ;
E₁ = (1/K)·Eл ; ...и ЕЩЁ далее (V₁ = K·V):
Eл = m·V₁²/2 = m·(K·V)²/2 = K²·(m·V²/2) = K²·E ;
E₁ = (1/K)·Eл = (1/K)·K²·E = K·E ; – таким образом:
(!) E₁/E = V₁/V = K = 5/7 ; ТЧК.
----- Итак, Ответ №2 – Потери (ставшая теплом E):
ΔE = (1 – 5/7)·100 ≈ 28,57%
– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – –
Логика бонусного Ответа №3, думаю, здесь очевидна.
• Если графики _успели_ сойтись в точке D за время одного удара (а в данном случае это так), то Ответы №1-№2 истинны сразу. И далее НИЧЕГО НЕ МЕНЯЕТСЯ: V₁ "заморозилась" идеальными условиями задачи, – так же как и равная ей скорость вращения Q. ...Безразлично, в полёте ли "катится" шар, или же при очередном ударе, – его виртуальная нижняя точка теперь всегда имеет нулевую горизонтальную Скорость относительно поверхности (= никак не воздействует на неё в этом направлении, = не порождает Fтр). – ЭТУ точку Сила трения _остановила_ – раз и навсегда (про существование других она, двухмерная, даже не подозревает); ...и, потеряв работу здесь, подалась батрачить в другие Задачи, – чтобы не спиться от безделья и неприкаянности. :)
• Если же параметры Задачи задать такими, что графики _не_успеют_ сойтись за один удар, то прерванный процесс возобновится на втором (...третьем, и т.д.) ударе с того же места (только суммарная кривая каждой из Скоростей будет более извилистой). ...Вообще, все "безударные" участки из графика можно просто вырезать, так как в полёте на шар просто физически нечему воздействовать (горизонтально). ...Как быстро, в каком сегменте этого сшитого в один графика "нарисуется" точка D, зависит от угла падения α и коэффициента трения μ. ...Но на корректность числовых значений данных выше Ответов – для «пост-D-шного» отскока (сколько бы ни было их «до»), изменение этих параметров повлиять _не_может_, поскольку здесь всё зависит исключительно от «k» в значении Момента инерции (изменить Ответы №1-№2 здесь _может_ лишь наличие у шара какого-либо начального вращения, которого в данной Задаче нет).
_Не_вполне_ корректными в принципе – эти Ответы здесь делает: 1) оговоренное неучтение поправки на действие Силы тяжести во время скольжения (но при очень малом Времени удара t искажение будет мизерным); 2) перманентная Неидеальность соответствия Теории и Практики. :)
– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – –
(Ну и "мораль сей басни".) ....Вот таким образом, оптимизируя Решение этой Задачи, я открыл для себя интересный факт, что у вращающегося Тела ВСЁ привязано к _коэффициенту_ «k» его Момента инерции «I». – ...А теперь – зная это (и зная I) – и каждый, кто смог всё это "переварить", может посчитать E₁/E (=V₁/V=K) для любого Тела вращения просто в уме за пару секунд....(!).
==============================
+ Из этого вот рисунка ещё и наглядно видно, что и при N равномерной (прямые линии), величина V₁ в точке встречи D' – та же самая. ...Но вот девиация Времени их встречи (и, соответственно, пройденного Пути) – в зависимости от _формы_ графика N – налицо.

jonson-72: РЕШЕНИЕ

ivana2000 2018-01-11 07:48:35 пишет:

R-2, после 1-го удара часть энергии будет потеряна на трение.
Сила трения скольжения возникнет, т.к. точка, которой ударится шар, будет иметь ненулевую скорость Vcosα относительно поверхности. Учет действия силы трения полностью аналогичен её учету в задаче про мешок. Добавится только учет вращения, т.к. сила трения создаст вращающий момент относительно центра шара. В результате горизонтальная составляющая скорости изменится, а вертикальная нет. Шар всегда будет подскакивать на одну и ту же высоту.

R-2 2018-01-10 20:24:36 пишет:

Ну конечно сложно. Не за что зацепиться. Тут есть все и момент и трение.
Если удар абсолютно упругий, то энергия в тепло не перейдет. Только израсходуется на закручивание шара.
Угол отскока поменяться не должен, теже 45 градусов.
А вот таже высота достигнута не будет.
И "шар поскачет в далёкую даль." Причем, скакать будет все меньше, а все больше катиться. Закончиться (в пределе) тем что он будет просто катиться. Двигаться и вращаться без трения.
Это. наверное. и можно использовать для нахождения асимптотической скорости.

jonson-72 2017-12-29 11:45:45 пишет:

...и что, смелых нет? :)

jonson-72:

jonson-72 2017-12-22 12:36:30 пишет:

ДОПОЛНЕНИЕ К УСЛОВИЮ!

ВО ВРЕМЯ УДАРА Силу тяжести НЕ УЧИТЫВАТЬ - считаем удар таким коротким по времени, что погрешность от неучтения "поправки на ветер (mg)" укладывается в допустимую Условием.
(...эх, надо было сразу сделать Условие(+картинку) для ситуации невесомости, - поздно сообразил)

jonson-72: ДОПОЛНЕНИЕ К УСЛОВИЮ!

jonson-72 2017-12-22 12:19:22 пишет:

ивана,
1. Я НЕ ОБЯЗАН просматривать весь физ.раздел сайта на предмет "а что там уже есть подобного". - Если Админ посчитал нужным добавить и мою задачу... - ну и нормально. .......Вашу... - да я даже не помню видел ли я её или нет!:) + я тут не зависаю "24 на 7 на 30 на 12".
2. Глупый вопрос - если БЫ он вращался, "изначально", - об этом было бы упомянуто в Условии (я ж не вы, лентяй, и слова - необходимые для _полной_ картины - печатать мне не в западло).
3. Если вы про график, - то..."для страху"...:).
4. Ну...попробуйте это сделать:).
5. "Вопросы _здесь_ задаю я!", -------- ВЫ, ивана, ВСЕГДА пишете НЕ ТО, что вас спрашивают, то что ожидают другие, а ТО, что _вашей_ душеньке угодно, плюя на всех, кто не желает угадывать, что же там в вашей "методичке". - Все ваши "задачи" - _по_сути_(и по факту) - ДАНЕТКИ! - где "правилен" не тОт Ответ, который подходит под Вопрос-условие, а тОт который _загадал_ Автор.
-- Так ПОЧЕМУ же вы ожидаете, что другие - по отношению к вам - должны вести себя по-другому?!! - принцип паритетности в дипломатии ещё никто не отменял:).

(пс) К тому же http://lprobs.ru/prob2582.html - это ТОЖЕ _недоделанная_псевдо-задача_:
- у вас там НЕТ данных про "сингулярность" удара, = дать Ответ в _общей_ Формуле НЕВОЗМОЖНО, не зная Время скольжения, конкретный Коэфф. трения, конкретный Угол удара, и т.д..

jonson-72:

ivana2000 2017-12-19 08:02:46 пишет:

1. ДД, а в чем ПРИНЦИПИАЛЬНОЕ отличие этой задачи от задачи «Куда отскочит 3?» (http://lprobs.ru/prob2582.html)? Может сначала её решите? А то как-то странно предлагать уже имеющуюся нерешенную задачу, у которой даже ни одного ответа нет.

2. С какой угловой скоростью и в какую сторону вращается шарик изначально?

3. Зачем нужна ЯВНАЯ зависимость силы реакции N?

4. «Шар поскакал в далёкую даль».
Да неужели? Ответ может Вас сильно удивить.

5. ДД, а Вам-то известно решение?

Добавьте комментарий:

© 2009-201x Логические задачи