R-2, это неверно. Три взаимно перпендикулярные (координатные) плоскости сами по себе, без всяких дополнительных "полос", НЕ будут делить куб на 8 равных частей при вращении - что и показано наглядно в приведенном контрпримере. Боковое ребро пирамидки sqrt(3) меньше ребра куба 2 - так что в высекании ее из первого куба участвуют только координатные плоскости, остальные грани второго куба не при деле вовсе.
Админ, к Вам вопрос. :) Несомненно, ivana2000 - ценный кадр, в том смысле, что с его плодовитостью вряд ли поспорит любой из присутствующих. Но является ли по-Вашему плодовитость равноценной заменой адекватности? 8)) Принятое Автором неправильное решение так и болтается тут - несмотря на приведенное опровержение. И Автор не отсутствует, заметьте, а ведет вполне активный образ жизни - в других задачах по соседству. Просто тут ему крыть нечем. Поскольку это уже отнюдь не первая подобная выходка, то, может, стОит хотя бы требовать от него указания четкого и проверяемого решения наперед, до публикации? :)))
Конечно. Если мы вращаем координатные плоскости с центром в центре куба, то они делят куб на 8 равных частей и от вращения ничего не зависит. Но еще вращаем и пространственные полосы. Они-то и могут еще отрезать углы.
А вот и неправда. Кто тут у нас любит рассказывать о бездумном переносе свойств на высшие размерности, а? ;)))
Давайте-ка посмотрим. Пусть у нас кубики будут с ребром 2, для простоты. Тогда объём одного кубика 8 и неправильный авторский минимальный объём пересечения 1. Как получить меньше?
Расстояние от центра кубика до любой грани 1. Расположим второй кубик так, чтобы это расстояние проходило по его главной диагонали. Тогда плоскость грани отсекает от нашего второго кубика треугольную пирамидку, в основании которой лежит равносторонний треугольник с ребром sqrt(6), а высота пирамидки у нас 1 по построению. Объём такой пирамидки sqrt(3)/2 примерно 0.87, что уже меньше 1. ;) Так что нас даже не интересует, сможем ли мы уместить основание пирамидки внутри грани первого кубика - даже если не сможем, то первый кубик только ещё больше уменьшит объём, откусив выступающие кусочки пирамидки. То-то же. ;)
Поворот квадрата на 90° относительно двух перпендикулярных прямых прямых, проходящих через его центр, приведёт к тому, что, например, S₁→S₂→S₃→S₄, в силу симметричности квадрата относительно центра C. Откуда, S₁=S₂=S₃=S₄=S/4 и площадь пересечения S/4 не зависит от положения секущих прямых. С кубом все аналогично. Используя его центральную симметрию получим, что три секущих взаимно перпендикулярных плоскости делят куб на 8 одинаковых частей с объемами V/8 независимо от их ориентации. Аналогично n-куб будет разделён на 2ⁿ частей с объемами V/2ⁿ. Т.о., объем общей области не зависит от положения кубиков, оставаясь все время равным V/8.
не представился 2018-06-15 11:20:33 пишет:
const Vmin.peresech = 1/8*Vkyb
Пляшем от положения в котором все грани кубиков попарно параллельны, ребра шарнирно закрепленного кубика (условно первого) перпендикулярны граням другого (условно второго) кубика и пересекают эти грани в их серединах. При этом искомый Vmin.peresech = 1/8*Vkyb.
Произвольно изменяя точку пересечения одного из ребер первого куба с гранью второго куба (в координатах (X, Y) плоскости грани), получаем тождественное изменение положения точек пересечения других ребер с соответствующими гранями (но уже в координатах (X, Y) плоскостей этих соответствующих граней). Используя признаки равенства плоских фигур (в данном случае прямоугольных треугольников), переносим его в третье пространство, и получаем, что добавленный (приращенный) объем равен убранному. Т.е. Vmin.peresech = const