Имется колода из 16 карт, по 4 карты каждой масти. Колода перемешивается. Затем карты берутся по одной сверху колоды. Каждая карта предъявляется человеку рубашкой вверх. И человеку предлагается угадать какой масти данная карта. Проверяем и переходим к следующей карте. Какова вероятность того что человек угадает масти (a) 4-х, (b) 8-ми, (c) N карт ?


+ -

Ответ

Решение задачи

Точное доказательство (с адекватным научным обоснованием) существования непричинных комбинаций событий было обнаружено только очень недавно, в основном благодаря экспериментам Дж. Б. Рейна и его сотрудников, которые, однако, не поняли, какие далеко идущие выводы можно сделать из их находок. Вплоть до сегодняшнего дня не было приведено ни одного убедительного аргумента против результатов этих экспериментов. В принципе, эксперимент состоит в том, что экспериментатор переворачивает пронумерованные карты, на каждой из которых нарисован простой геометрический узор. Одновременно с этим "объект", отделенный от экспериментатора экраном, должен угадывать, какой именно узор изображен на переворачиваемой карте. Используется колода из двадцати пяти карт. Пять карт обозначены звездой, пять квадратом, пять кругом, пять волнистой линией и пять крестом. Разумеется, экспериментатор не знает в каком порядке расположены карты, а "объект" не может их видеть. Многие эксперименты дали отрицательный результат, то есть было меньше пяти вероятных попаданий. Однако, некоторые "объекты" давали результаты значительно лучше вероятных. Первая серия экспериментов: каждый "объект" пытается отгадать карты 800 раз. Средний результат: 6.5 попаданий на 25 карт, что на 1.5 попаданий больше вероятных 5-ти. Вероятность случайного отклонения на 1.5 от 5-ти составляет 1:250 000. Эта пропорция показывает, что вероятность случайного отклонения не очень велика, поскольку отклонение может произойти 1 раз на 250 000 случаев. Результаты экспериментов очень разнятся в зависимости от индивидуального дара каждого "объекта". Один молодой человек, который показал в среднем 10 попаданий на 25 карт (в два раза больше вероятного числа), один раз угадал все 25 карт. Вероятность такого случая составляет 1:298 023 223 876 953 125. Возможность "подтасовки" колоды исключалась, потому что карты тасовались автоматически - независимой от экспериментатора машиной. После первой серии экспериментов пространственное расстояние между экспериментатором и "объектом" было увеличено в одном случае до 400 километров. Средний результат этой серии экспериментов - 10.1 попадание на 25 карт. В другой серии экспериментов, когда экспериментатор и "объект" находились в одной комнате было 11.4 попаданий на 25 карт. Когда "объект" находился в соседней комнате, результат был 9.7 на 25 карт; когда он находился через две комнаты от экспериментатора - 12 попаданий на 25 карт. Рейн упоминает об экспериментах Ф. Л. Ашера и Е. Л. Берта, которые дали положительные результаты при расстоянии между экспериментатором и "объектом" в 1 500 км. Положительные результаты дал и эксперимент проведенный одновременно в Дэрнхаме, штат Северная Каролина, и Загребе, Югославия. Расстояние составляло 7 000 км.31 Тот факт, что расстояние в принципе не имеет никакого значения, указывает, что исследуемое явление не может быть феноменом силы или энергии, в противном случае расстояние оказало бы свое воздействие, и рассеивание в пространстве привело бы к ослаблению эффекта и, более чем вероятно, результаты ухудшались бы пропорционально увеличению расстояния. Поскольку это было совершенно не так, то у нас нет никакой альтернативы предположению, что в психическом смысле расстояние - переменно и в определенных условиях посредством соответствующего психического состояния может быть сведено до практически незаметной точки.

Ваши ответы на задачу

ответов: 2

KoKos 2020-11-08 05:40:31 пишет:

Ну да, и пока писал "трактат", заметил, что еще есть место для оптимизации стратегии испытуемого. Если тот "сделает морду кирпичом" и не будет баловаться с подсчетом вероятности выбора, а будет тупо называть самую длинную из оставшихся мастей (наобум, если самых равно длинных несколько) - то он несколько увеличит свои шансы.

В рассмотренном предельном упрощении это будет выглядеть так... Позиционные вероятности: 1/2, 2/3, 2/3, 1 (приподнимется шанс угадать вторую карту, остальные без изменений). Количественные вероятности: 1/18, 5/18, 8/18, 4/18 (сместятся в сторону угадывания большего числа карт за сеанс, естественно). Наиболее вероятный исход останется тем же, 3 карты, но с чуть большей вероятностью 44.(4)% , ну и шанс на полное бинго выиграет больше всех - так он станет 22.(2)% . Мат.ожидание тоже улучшится, соответственно - до 2.83(3)

Упростит ли это расчеты для большего числа мастей? Сомневаюсь, но можно подумать.

KoKos 2020-11-07 22:01:34 пишет:

... Хотел привести упрощенный пример для иллюстрации, но что-то пошло не так. XD Собственно, посчитал двумя способами и, хотя мат.ожидания количества угаданных карт сошлись, но индивидуальные вероятности чуть-чуть поплыли - немного, 2% туда-сюда, но так не должно быть. :) Значит, как минимум в одном из способов я ошибся. Тогда хотел сперва поискать ошибку, для полной уверенности, но все никак не хватает времени. В-общем, покажу только второй способ, которому я доверяю больше - он более лобовой и, соответственно, в нем сложнее ошибиться. :)))

Берем самое примитивное упрощение той же модели: колода из 4 карт, по 2 карты каждой из 2 возможных мастей. Всего возможных раскладов будет только 6, так что их легко проследить вручную:
0011, 0101, 1001, 0110, 1010, 1100
Найдем индивидуальные вероятности того, что испытуемый (пользуясь оговоренной ранее стратегией) угадает отдельную очередную карту. Для первой и для последней карт все просто - 1/2 для первой и 1 для последней. Посмотрим теперь на оставшиеся в середине. Сразу дополнительно обращаем внимание на то, что вероятность угадать очередную карту никак не зависит от того, угадал ли испытуемый какие-либо из предыдущих - а только лишь от того, какие именно предыдущие карты нам попались в данном раскладе.

Итак, предположим, что первая карта у нас оказалась ноликом. Тогда испытуемый знает, что в колоде остался всего 1 нолик и 2 единицы - соответственно, угадывая вторую карту, он, согласно стратегии, выберет нолик с вероятностью 1/3 или единицу с вероятностью 2/3. Но если мы теперь посмотрим на наши расклады, начинающиеся с нуля, то мы увидим, что среди них есть только один, начинающийся с двух нулей, против двух, начинающихся на "01" - то есть вероятность того, что там действительно окажется нолик та же 1/3 и 2/3 на то, что в действительности там окажется единица. Таким образом, вероятность угадать вторую карту (при известном первом нолике) у испытуемого составит P0^2+P1^2 = 5/9 (что уже больше "чистой" 1/2 в случае когда испытуемый не получает обратной связи). Совершенно симметрично рассматривается вариант с известной первой единицей, а поскольку сами по себе оба этих варианта равновероятны, то и итоговая вероятность угадать вторую карту у испытуемого равна 5/9 - уже независимо от конкретного расклада.

В общем случае, нетрудно убедиться, что вероятность очередного выбора той или иной масти испытуемым точно соответствует вероятности действительного выпадения этой же масти среди возможных раскладов, начинающихся с уже известной последовательности предыдущих открытых мастей. То есть вероятность угадать очередную карту при известном начале расклада равна сумме квадратов вероятностей выбора каждой из мастей.

Перейдем к третьей карте, здесь уже будет немножко поинтереснее. Но зато я сокращу детальные выкладки, мы их уже рассмотрели раньше. Итак, если первые две масти совпали (а вероятность такого начала среди всех возможных раскладов 1/3), то третью карту испытуемый называет с полной уверенностью (вероятность угадывания 1). Но более вероятен случай, когда первые две масти оказались различны (вероятность расклада 2/3) и тогда испытуемому снова остается бросать монетку (вероятность угадывания 1/2). Но оба этих случая взаимоисключающие, так что вероятность угадать третью карту в целом, независимо от неизвестного наперед расклада, составит 1/3*1+2/3*1/2 = 2/3.

Итого, получаем цепочку неодинаковых (и постепенно растущих) вероятностей для испытуемого угадать каждую очередную карту при неизвестном наперед раскладе. Чисто для наглядности приведем к общему знаменателю: шансы угадать первую карту 9/18, вторую 10/18, третью 12/18 и четвертую 18/18. Провести аналогичные вычисления для четырех мастей вручную не представляется возможным, хотя если повозиться, думаю, что можно найти либо аналитическое представление цепочки, либо хотя бы достаточно точную аппроксимацию, которая бы позволяла ее легко расписать для любого заданного числа мастей. Но самое интересное еще не в этом... :))

Нас ведь интересует общее количество за "сеанс", а не каждая карта в каждой конкретной позиции. Давайте посмотрим? Ни одной карты не угадать в принципе невозможно, ведь последнюю мы всегда знаем наверняка. Вероятность угадать всего одну карту сводится к тому, что мы НЕ угадали все первые три - и равна, соотвественно, 9/18*8/18*6/18 = 4/54 или около 7.5% (мы ведь помним, что все "позиционные" вероятности абсолютно независимы друг от дружки). Вероятность угадать все четыре также проста, для этого надо, наоборот, угадать все первые три - 9/18*10/18*12/18 = 10/54 или примерно 18.5% (что уже, в принципе, достаточно много для фокуса - примерно в каждой пятой компании мы будем угадывать все четыре карты, к полному офигению зрителей Ж:))).

А вот с остальными вероятностями у нас получается печалька... :) Чтобы угадать две карты, нам надо угадать последнюю, естественно, и еще какую-то одну из первых трех. Но у них у всех разные вероятности, поэтому придется проводить полный перебор: 9/18*8/18*6/18 (угадали только первую, и не угадали вторую с третьей) + 9/18*10/18*6/18 (угадали только вторую, но не первую и третью) + 9/18*8/18*12/18 (угадали только третью, но не первую и вторую) = 17/54 или примерно 31.5% . Аналогично, чтобы угадать три карты, надо наоборот НЕ угадать какую-то одну из трех первых, и опять перебираем: 9/18*10/18*12/18 (не угадали первую) + 9/18*8/18*12/18 (не угадали вторую) + 9/18*10/18*6/18 (не угадали третью) = 23/54 или примерно 42.5%.

Итого, наиболее вероятный исход одного сеанса - три угаданные карты (в 4 случаях из 10), а мат.ожидание числа угаданных карт 147/54 или 2.72(2) - или суммарно 27 угаданных из 40 возможных за 10 сеансов подряд.

Проблема в том, что даже если мы построим относительно простую позиционную формулу для четырех мастей, подсчет заказанных в условии задачи вероятностей сведется к перебору 455 различных вариантов (комбинаций множителей) для случая (а), 6435 вариантов для случая (b) и принципиально сомнительной возможности обобщить все это веселое дело для случая (с) - хотя, конечно, если нарисовать программу для расчета, то тогда можно просто протабулировать результаты для всех возможных N от 1 до 16.

Где-то так... Сорри, если не оправдал ожиданий. :)

Добавьте комментарий:

© 2009-201x Логические задачи