Первый диск радиуса r катится без проскальзывания по ободу второго диска радиуса R. Сколько оборотов вокруг своей оси сделает первый диск, прежде чем займет исходное положение?


+ -

Ответ

Решение задачи

Ваши ответы на задачу

ответов: 57

Так, по старой памяти заглянул :) 2023-03-15 17:24:31 пишет:

не представился, так уже лучше, хотя все равно еще далеко от идеала. Впрочем, я сам виноват - надо было троллить "потолще". 8))

По сложению скоростей:

Вы начали с вращательного движения ("Пусть ось подвижного диска вращается с угловой скоростью ω2 вокруг неподвижной оси."), а потом *незаметно* перешли к поступательному, подставив в сумму скоростей то же самое ω2*(R+r) - в этом была моя претензия о неочевидности :) - поскольку, если бы мы (естественно) продолжили рассматривать именно вращательное движение, с которого начинали, без перехода - то мы бы как раз и получили "диск, вращающийся на штанге" со скоростью нужной нам точки ω2*R. ;)

Я не спорю, это может быть вполне очевидно для Вас, и даже для меня (сколь бы низкого мнения Вы не были о моих способностях к физике 8))). Но раз уж Вы постулировали "школьный курс", то есть доступность для школьников - то такие вещи стоило бы специально оговаривать. ;) Кстати, из суперпозиции двух вращательных движений тоже складывается та же самая формула, и далеко не факт, что процесс будет сложнее - с учетом того самого "количества букаф", которое Вам пришлось привести для более внятного пояснения этой конкретной "очевидности". ;)

По остальному:

Позвольте с Вами не согласиться насчет придирок. У меня уже давно нет под рукой ни одного школьного задачника по физике, чтобы это точно проверить, но, насколько я помню - ничего там не "считается", а напротив, всегда формулируется даже с избытком. Типа "движется равномерно и прямолинейно со скоростью v". И я бы, возможно, даже согласился с Вашим "считается", в какой-нибудь более сокращенной форме типа "движется со скоростью v". Но в данной конкретной задаче вообще нет никаких отсылок к характеру движения. Так что это не я тут придумываю несуществующие детали, а именно Вы - именно Вы вводите в задачу "лишние" скорости, которых там и близко не было (и которые там в принципе не нужны для решения, как мы уже имели возможность убедиться), но которые нужны лично Вам для Вашего конкретного способа решения - и дополнительно додумываете, что там "должно было считаться". :))

Если Вас это утешит, то признаю - я в свое время и сам "погорел" совершенно аналогичным образом, еще в школе. 8)) Решил задачу в уме за несколько секунд, но для этого ввел дополнительные построения, которые не предусматривались "традиционным" решением и, как показала практика, были "лишними". Решение оказалось настолько неожиданным для самого преподавателя, что он заподозрил неладное и потребовал доказательства. В итоге, потратив условно пусть будет 10 секунд (чисто для наглядности) на само решение, я следом убил часа два(!) на строгое доказательство его корректности. 8))) А если бы я тогда поискал "традиционное" решение, то потратил бы минут может 5 (задача была действительно простая), но зато не пришлось бы потом доказывать, что "я не верблюд". 8)))

"отношение ω1/ω2=1+R/r постоянно и не зависит от времени" - это утверждение тоже неверно, на самом деле. Вы забываете о том, что на ноль делить нельзя. ;))) Хотя с остальными Вашими рассуждениями (если добавить необходимые оговорки на случай остановок-нулей) я соглашусь - именно так это все и выглядит в школьном курсе физике (насколько память мне не изменяет).

Однако тут есть одно большое "НО". Это никак не является сколько-нибудь строгим доказательством. Это именно иллюстративная "прикидка на пальцах", которую дают школьникам для общего понимания идеи - за невозможностью подкрепить ее строгими доказательствами без достаточного мат.аппарата. Смотрите сами:
- Любой переход к мгновенным скоростям - это, на самом деле, дифференциальное исчисление. И если Вы с ним знакомы, то Вы не хуже меня знаете, что далеко не всякая функция дифференциируема в принципе, то есть должны соблюдаться еще вагон и маленькая тележка дополнительных условий (о которых в курсе школьной физики никто не упоминает, даже "элементарного" казалось бы предельного перехода на самом деле НЕ делают - все ограничивается чисто иллюстративным рассмотрением тех самых "малых промежутков Δt").
- Обратный переход от мгновенных скоростей к пройденному пути (например) - это, на самом деле, интегральное исчисление. Собственно, путь в данном контексте так и классифицируется даже - "интегральная величина". И там тоже есть, соответственно, свои условия и требования, которые должны соблюдаться для того, чтобы такой переход был возможен в принципе. А "просуммировать все Δ" - это не доказательство, это опять лишь общая иллюстрация идеи.

Ну, и напоследок, если Вы всерьез считаете мое "заявление" о физике и математике нелепым - то вот, пожалуйста https://ru.wikipedia.org/wiki/Физический_закон - полюбопытствуйте на досуге, освежите в памяти базовое определение, которое да, тоже дается в школьной программе (по крайней мере, нам давалось, и именно в таком виде). И, как говорится, "найдите десять отличий"? :)))

А если уж мы с Вами тут развлекаемся, объясняя друг другу очевидные для нас обоих вещи - то давайте соблюдать правила этой игры, которую начал, заметьте, не я. ;))) И не пытаться переходить на личности. :)

не представился 2023-03-15 14:06:50 пишет:

Я там в формулке одной опечатался (а может, и не в одной).
Вместо
Δφ1=(ω1/ω2)*Δφ2=1+R/r=const
нужно читать
Δφ1=(ω1/ω2)*Δφ2=(1+R/r)*Δφ2=const*Δφ2

не представился 2023-03-15 13:08:46 пишет:

-----------------------
Так, по старой памяти заглянул :) 2023-03-13 22:39:40

Это отнюдь не очевидно, и даже совсем наоборот.
-----------------------
Одна из основных теорем кинематики - закон сложения скоростей Галилея:

V=V0+V'(векторная сумма)
Короче - "скорость системы + скорость в системе".

V0 - скорость подвижной системы отсчета в неподвижной системе отсчета.
V' - скорость точки в подвижной системе отсчета.
V - скорость точки в неподвижной системе отсчета.

В точке касания V0 и V' направлены параллельно,
V0=ω2(R+r),
V'=Rω2*r,
откуда, учитывая направления вращений,

V=ω2(R+r)-ω1*r

Интересно, как же будет "наоборот"?

-----------------------
Поскольку Вы, очевидно, позволили себе меня потроллить, то и я имею ответное право? ;) Убираем неподвижный диск диск вообще, а вместо этого подвижный жестко закрепляем на вращающейся штанге - ой, 8) линейная скорость (бывшей) "точки касания" получается всего лишь ω2*R ? 8)) Как так? 8)))
-----------------------
Действительно, "как так?". А с какого перепуга Вы подменяете условия исходной задачи условиями совершенно другой, с совершенно другой кинематикой и совершенно другим ответом? Тут и троллить не надо. Не надо отсебятины в условиях, а то действительно случится "ой".

-----------------------
Так, по старой памяти заглянул :) 2023-03-13 22:39:40

Ну, и если троллинг отбросить в сторону, то есть еще одна деталь, которая делает Ваши пояснения неубедительными: НИГДЕ в условии задачи нет даже малейшего намека на *равномерное* движение - даже опять совсем наоборот, если подходить с "бытовыми" мерками - то из *статического* исходного положения первый диск должен сперва как-то разогнаться, прокатиться по второму и в конце затормозить, остановившись обратно в исходном положении.

То есть ни о каком постоянстве угловых скоростей ω1 и ω2 не может быть и речи. А, соответственно, переход "ω1/ω2=f1/f2" невозможен без интегрирования - даже несмотря на то, что я с Вами соглашусь по поводу *мгновенных* скоростей. Ой. 8)
-----------------------
Ясно, Вы опять пытаетесь придраться к условиям и придумываете "детали", хотя, если это не оговорено особо, в подобных задачах скорости считаются постоянными и установившимися. Но даже если считать, что ω1 и ω2 меняются во времени, то из общего соотношения

ω1*r=ω2*(R+r)

следует, что отношение ω1/ω2=1+R/r постоянно и не зависит от времени. За малое время Δt углы поворота составят

Δφ1=ω1*Δt и Δφ2=ω2*Δt, откуда
Δφ1=(ω1/ω2)*Δφ2=1+R/r=const

Если теперь просуммировать все Δφ1 и Δφ2 за некоторый конечный промежуток времени, то

φ1/φ2=ω1/ω2=1+R/r=const

Частоты вращений f1 и f2 - это то же самое, что ω1 и ω2, но выраженные в других единицах (f - обороты/сек, ω - радианы/сек), откуда

φ1/φ2=ω1/ω2=f1/f2=1+R/r=const

для любого промежутка времени. Не надо ничего интегрировать. Пусть даже подвижный диск остановится где-то на 100 лет, все равно он сделает 1+R/r оборотов, если его центр сделает 1 оборот. Второе "ой".

Да, с физикой беда.

Так, по старой памяти заглянул :) 2023-03-13 22:39:40 пишет:

не представился, чудесно. Почему-то я так и думал, что именно к этой формуле Вы обратитесь. Однако, я ошибся, полагая, что с ее помощью Вы собираетесь доказывать упомянутую мной a=S/R . 8))

Ок, вернемся тогда напрямую к задаче.

---
Относительная скорость точки касания подвижного и неподвижного дисков равна сумме этих скоростей.
---
Это отнюдь не очевидно, и даже совсем наоборот. Поскольку Вы, очевидно, позволили себе меня потроллить, то и я имею ответное право? ;) Убираем неподвижный диск диск вообще, а вместо этого подвижный жестко закрепляем на вращающейся штанге - ой, 8) линейная скорость (бывшей) "точки касания" получается всего лишь ω2*R ? 8)) Как так? 8)))

Ну, и если троллинг отбросить в сторону, то есть еще одна деталь, которая делает Ваши пояснения неубедительными: НИГДЕ в условии задачи нет даже малейшего намека на *равномерное* движение - даже опять совсем наоборот, если подходить с "бытовыми" мерками - то из *статического* исходного положения первый диск должен сперва как-то разогнаться, прокатиться по второму и в конце затормозить, остановившись обратно в исходном положении.

То есть ни о каком постоянстве угловых скоростей ω1 и ω2 не может быть и речи. А, соответственно, переход "ω1/ω2=f1/f2" невозможен без интегрирования - даже несмотря на то, что я с Вами соглашусь по поводу *мгновенных* скоростей. Ой. 8)

не представился 2023-03-13 21:09:18 пишет:

Да формула-то простая. Если диск радиуса R вращается с угловой скоростью ω, то скорость точек на ободе диска составит

V=ω*R.

Теперь по задаче. Пусть подвижный диск вращается с угловой скоростью ω1 вокруг своей оси. Пусть ось подвижного диска вращается с угловой скоростью ω2 вокруг неподвижной оси. Скорость точек на ободе подвижного диска составит ω1*r, скорость, с которой вращается ось подвижного диска, составит ω2*(R+r), причем эти скорости противоположны. Относительная скорость точки касания подвижного и неподвижного дисков равна сумме этих скоростей. Чтобы не было проскальзывания эта относительная скорость должна равняться нулю, откуда

ω1*r=ω2*(R+r) или ω1/ω2=f1/f2=1+R/r,

где f1, f2 - количество оборотов в ед. времени, совершаемое подвижным диском и его осью. Например, если ось сделает 1 оборот, то диск за то же время сделает 1+R/r оборотов вокруг своей оси.

Можно было бы не расписывать так уж подробно, т.к. при минимальном опыте в математике задача решается в уме.

P.S. Видимо с физикой у Вас было туго даже в школе.
Отсюда и такие нелепые заявления о том "из чего состоят физика и математика".

"Математик может говорить все, что взбредет ему в голову, но физик обязан сохранять хотя бы крупицу здравого смысла."
Уиллард Гиббс.

Так, по старой памяти заглянул :) 2023-03-08 20:05:36 пишет:

не представился 2023-03-08 18:40:57 пишет:
---
Очень "много букаф", да и с картинками проблема, что делает подобные пояснения неубедительными.
---
Пффф! :) Все эти "многабуквы" - всего лишь попытка словесного описания необходимой картинки. Они не могут быть ни убедительными, ни неубедительными в принципе. :)) Если бы какой-нибудь добрый прохожий нарисовал и прилепил такую картинку, то все словесное "доказательство очевидности" свелось бы к одному лишь последнему абзацу - который начинается словами "как очевидно из рисунка...".

не представился 2023-03-08 18:40:57 пишет:
---
Помнится, что будет достаточно одной формулы из курса физики средней школы, без использования дифференциального и интегрального исчисления.
---
Хотите попробовать? 8) Валяйте, поменяемся ролями - теперь Вы приведете свое "простое доказательство" на основании одной формулы из средней школы, а я Вам расскажу, в свою очередь - что в нем "неочевидно" и "неубедительно"? 8))) Я даже честно попытаюсь не ставить под сомнение саму формулу (правда, точно обещать не могу, так как еще не знаю, что именно у Вас на уме) - хотя, помнится мне, добрая половина формул из школьного курса физики преподносится детишкам без каких-либо внятных обоснований - именно потому, что они на тот момент еще не владеют достаточным математическим аппаратом - и относятся скорее к категории (произносить нараспев) "итс зе факин мэ-эджик". :)))

:) Именно поэтому математика состоит в основном из теорем с четкими доказательствами, а физика - в основном из законов. На пальцах прикинули - вроде похоже, опытным путем проверили - вроде работает, хлоп - нате вам новый закон. А против закона уже не попрешь. 8)))

не представился 2023-03-08 18:40:57 пишет:

Ничего себе пояснения к "очевидному" факту!

Очень "много букаф", да и с картинками проблема, что делает подобные пояснения неубедительными.

-----------------------
Так, по старой памяти заглянул :) 2023-03-08 12:19:05

Вы сможете это доказать, потратив несколько лет на изучение физики (кинематики будет достаточно) и дифференциального с интегральным исчислений"
-----------------------

Помнится, что будет достаточно одной формулы из курса физики средней школы, без использования дифференциального и интегрального исчисления.

Так, по старой памяти заглянул :) 2023-03-08 12:19:05 пишет:

Кстати, есть еще и другой способ получить ту же формулу для количества оборотов первого диска - в текстовом виде он излагается вообще в пару строчек, элементарно... :) Но зато он настолько неочевидный, что его надо относить даже не в категорию "можно доказать", а в категорию "вероятно, Вы сможете это доказать, потратив несколько лет на изучение физики (кинематики будет достаточно) и дифференциального с интегральным исчислений". 8)))

Собственно, способ простой, как сибирский валенок. Из упомянутых разделов мы можем знать "готовую" :)) формулу для угла поворота колеса: длина пути, пройденного колесом (в смысле - его центром), деленная на радиус колеса. Что забавно, эта формула работает для непрерывного качения колеса без проскальзываний по профилю ЛЮБОЙ сложности - хоть плавному, хоть ломанному, хоть вокруг квадрата, хоть наоборот - внутри треугольника, и т.д. и т.п... Лишь бы нам удалось как-то посчитать итоговый путь, пройденный при этом центром колеса. 8)

В нашем случае центр первого диска при качении вокруг второго описывает дугу окружности радиуса (R+r). Соответственно, сделав один полный оборот вокруг второго диска, первый (наше колесо, или точнее его центр) пройдет полную окружность, длины 2*пи*(R+r). Поделив на радиус колеса, получим угол поворота 2*пи*(R+r)/r = 2*пи*(R/r+1). И поделив теперь на 2*пи, получим количество оборотов вокруг своей оси: R/r+1

Так, по старой памяти заглянул :) 2023-03-07 18:05:45 пишет:

не представился, это очевидно, если нарисовать картинку - но, поскольку я не могу ее Вам показать, то попрошу Вас нарисовать ее самостоятельно, а я только расскажу, как - договорились? :)

- Нарисуйте сперва второй диск, который розовый у Автора, любого удобного Вам радиуса, но так чтоб еще место оставалось.
- Через центр второго диска проведите горизонтальную линию, которая нам будет указывать стартовое положение.
- Отложите от этой линии (например вверх, против часовой стрелки) какой-нибудь не очень большой и не очень маленький (чтоб хорошо было видно) угол, например градусов 30, или какой Вам больше нравится. Назовем его "альфа".
- Теперь на наклонной стороне этого угла постройте первый (сиреневый) диск, скажем, вдвое меньшего радиуса (опять-таки, не принципиально - хоть втрое, хоть вчетверо, - лишь бы Вам было удобно и хорошо видно и отношение радиусов было бы целым) так, чтобы он касался второго.
- Это у нас будет новое положение первого диска, когда он прокатился по второму на угол альфа. Наведите пожирнее (или выделите другим цветом) участок обода второго внутри угла альфа - это у нас расстояние по ободу, которое первый диск прокатился, и равно оно a*R.
- Теперь выделим точно так же дугу первого диска, точки которой вступали в соприкосновение со вторым в процессе - нам надо отложить точно такую же дугу a*R = a*2*r (поскольку катится без проскальзывания) - а для этого надо отложить угол 2*а (поскольку радиус первого диска всего r=R/2). Ну, или другое целое (R/r)*a, соответственно - если Вы выбрали для своего рисунка другое отношение радиусов.
- Итак, на первом диске дуга будет начинаться в теперешней точке касания со вторым диском, а заканчиваться в той точке, в которой касание было в момент старта из начального горизонтального положения как на Авторском рисунке.
- Очевидно :) , что красная отметка на ревом диске, должна лежать на диаметре, проходящем через второй конец дуги, то бишь через точку стартового касания - а значит, она теперь повернута на угол (R/r)*a относительно наклонной стороны угла альфа - правильно? :)
- Но она также дополнительно повернута еще и на сам угол альфа относительно своего стартового положения на горизонтальном диаметре первого диска.

Итого, как очевидно из рисунка, при повороте первого диска на произвольный угол альфа относительно второго, он сам вокруг своей оси делает поворот на угол (R/r)*a+а = а*(R/r+1) . и когда он сделает один полный оборот вокруг второго, то есть 2*пи - то вокруг своей оси он повернется, соответственно на 2*пи*(R/r+1) - или, другими словами, сделает (R/r+1) полных оборотов вокруг своей оси.

не представился 2023-03-07 17:01:57 пишет:

Так, по старой памяти заглянул :) 2023-02-18 01:21:04 пишет:
-----------------------
1. ЕСЛИ отношение R/r является целым числом, ТО да, первый диск сделает ровно R/r+1 оборотов вокруг своей оси в тот момент, когда впервые с момента старта вернется в исходное положение (то бишь совпадение и центра диска, и красной точки со своими стартовыми положениями). Это у нас из категории "очевидно". :)
-----------------------
А почему из категории "очевидно"? Почему не R/r, 2+R/r, 1+R^2/r^2 или еще что-нибудь подобное? Мне вот совсем не "очевидно".

Так, по старой памяти заглянул :) 2023-02-18 01:21:04 пишет:

:))) Согласен с первым "не представился" - тут явно занижена сложность задачи. Задача с подвохом, на мой взгляд - и то капитальным таким... Поскольку на рисунке специально отмечена красная точка на первом диске (меньшем, хотя это тоже далеко не факт :)) - то надо полагать, что "исходным положением" должно считаться не просто возвращение центра первого диска в то же положение, что и на рисунке, но также и возвращение красной точки в точно то же положение? Другими словами, чтобы "занять исходное положение", первый диск должен сделать обязательно целое число оборотов вокруг своей оси?

И если так, то поскольку никаких дополнительных условий на отношение R/r условием задачи не наложено, - простого и однозначного ответа на эту задачу не существует. А сложный и неоднозначный ответ :) будет следующим:

1. ЕСЛИ отношение R/r является целым числом, ТО да, первый диск сделает ровно R/r+1 оборотов вокруг своей оси в тот момент, когда впервые с момента старта вернется в исходное положение (то бишь совпадение и центра диска, и красной точки со своими стартовыми положениями). Это у нас из категории "очевидно". :)

Дальше немножко интереснее... 8) Предположим для наглядности, что R/r=3/2 . Теоретически, конечно, мы можем сказать, что в момент первого совпадения центра первый диск сделал 2.5 оборота - но это совершенно очевидно означает, что красная точка НЕ совпала со своим стартовым положением в этот момент, - а значит, именно исходное положение таки не достигнуто. 8) И нам придется намотать еще лишний кружочек, до второго совпадения центров и 5 (целых) оборотов первого диска для совпадения красной точки и достижения исходного положения. 8)

2. Соответственно, ЕСЛИ отношение R/r является рациональным числом, ТО первый диск сделает ровно (R+r)/НОД(R,r) оборотов вокруг своей оси в тот момент, когда впервые с момента старта вернется в исходное положение. Это уже будет из категории "легко видеть что". :))

Эта формула справедлива вне зависимости от того, какой из дисков на самом деле больше, и всегда гарантирует целое число оборотов первого диска. А также, если присмотреться, то ровно как целые числа являются частным случаем рациональных, так и формула из п.1 является на самом деле частным случаем формулы из п.2, только в гораздо более простом виде. Именно поэтому я и не стал в п.2 специально оговаривать, что отношение радиусов не является целым числом.

3. Ну, и наконец, ЕСЛИ отношение R/r является иррациональным числом, ТО первый диск вообще никогда не вернется в исходное положение. Это у нас из категории "можно доказать". :)))

не представился 2022-04-28 20:23:21 пишет:

Даже если они одного размера, то всеравно 2 а не 1.

Азиз 2022-04-26 17:34:40 пишет:

Думаю 1

не представился 2022-04-26 17:34:11 пишет:

не представился 2021-10-11 17:43:51 пишет:

У нас, не помню в каком учебнике, все утверждения разделялись на 3 категории.
"Очевидно" - это значит что если пол-часа посидеть и крепко подумать, то станет понятно почему это верно.
"Легко видеть что" - тут надо обложиться книгами и потратить целый день.
"Можно доказать" - Ну, наверное можно... Мне лично не удавалось.

не представился 2021-10-11 17:23:59 пишет:

не представился 2021-10-10 20:50:16 пишет:

1+R/r

Добавьте комментарий:

© 2009-201x Логические задачи